6.Размещения без повторений.
Размещением
без повторений из
элементов
по
называют
кортеж длины
,
составленный из элементов
-членного
множества
,
все элементы которого
различны.Разумеется,
такие кортежи могут существовать только
при
.
Число всех размещений без повторений
из
элементов
по
обозначается
.Чтобы
найти число
,
заметим, что для выбора
элемента
имеется
возможностей;
если
выбран,
то для
имеется
возможностей;
если выбраны
и
,
то для выбора
имеется
возможностей
и так далее. Пользуясь правилом
произведения, находим отсюда, что
Если
,
то говорят о перестановках без повторений
длины
.
Их число выражается формулой
7.Сочетания без повторений.
k-элементные подмножества m-элементного множества называются сочетаниями без повторений из m по k.
От
размещений сочетания отличаются тем,
что порядок элементов в них несущественен.
Число всех сочетаний без повторений из
mпо
k
обозначается
символом
и
находится по следующей формуле:
=
8.Сочетания с повторениями.
Подсчитаем
количество способов, которыми можно
выбрать m из n различных предметов. Такие
выборки называются сочетаниями, а их
количество обозначается
.
При m<n, выбрать m предметов из n можно
способами, переставляя их
способами:
Пусть
имеются предметы n различных видов
предметов, и из них составляются наборы,
содержащие m элементов. Такие выборки
называются сочетаниями с повторением.
Их число обозначается
9.Перестановки.
Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.
Перестановки
обозначаются символом Р
,
где n- число элементов, входящих в каждую
перестановку.
Число перестановок можно вычислить по формуле
или
с помощью факториала:
10.Перестановки данного состава.
Кортежи
заданного состава
называют
перестановками (размещениями) с
повторениями
из
элементов
,
элементов
,
,
элементов
.
Найдём
число перестановок с повторениями
данного состава. Будем считать все
элементы кортежа различными, тогда из
них можно составить
перестановок.
Среди полученных кортежей есть
равные.
Заметим, что кортежей, равных некоторому
кортежу
,
будет
,
так как элементы
можно
переставить
способами,
элементы
можно
переставить
способами,
и так далее и все эти способы можно
произвольным образом комбинировать.
Значит, число различных кортежей будет
в
раз
меньше общего числа перестановок. Таким
образом получили, что количество
размещений
с повторениями, имеющих состав
,
выражается формулой
11.Условная вероятность.
Условной
вероятностью события
называется вероятность этого события,
вычисленная при условии, что событие
произошло. Обозначается
Теоремы умножения вероятностей.
1 теорема. Вероятность произведения нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных событий, вычисленных в предположении, что все предыдущие события имели место.
2 теорема. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
