41)Теорема о среднем в определённом интеграле.

Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b], тогда

Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда

Число заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка , такая что

Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка такая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием [a,b] и высотой f(c) (на рисунке выделен цветом).

42) Интеграл с переменным верхним пределом.

Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция f ( x ),

тогда для любого x € [ a, b ] существует функция:

задаваемая интегралом с переменным верхним пределом,

стоящим в правой части равенства. На интеграл с переменным верхним пределом распространяются все правила и свойства определённого интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница:

Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления.

43) Формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла.

Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то .

Док-во. Интегрируем равенство в пределах от a до b: . Функция в левом интеграле имеет первообразную uv, по формуле Ньютона-Лейбница , следовательно, , откуда и следует доказываемое равенство. Пример:

Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция

1)определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке ,

2) ,

3)функция непрерывна на отрезке [a, b].

Тогда .

Док-во. Пусть F(x) - первообразная для функции f(x), т.е. , тогда - первообразная для функции . , что и требовалось доказать.

44) Несобственные интегралы

До сих пор предполагалось, что, во-первых, областью интегрирования для определенного интеграла служит конечный отрезок [a,b], а во-вторых, что подынтегральная функция интегрируема на этом отрезке. Отбрасывая эти предположения, приходим к понятию несобственных интегралов двух типов: по бесконечному промежутку и от неограниченной функции.

Несобственные интегралы первого рода.

Предположим, что функция f(x)задана на бесконечном промежутке вида и интегрируема на любом конечном отрезке [a,b], где .Таким образом, можно рассмотреть функцию, зависящую от верхнего предела, как от переменной:

Если эта функция имеет предел при , то число называется значением несобственного интеграла первого рода:

а сам определенный интеграл называется сходящимся. Если же предела не существует, то интеграл называется расходящимся и не имеет никакого числового значения.

Несобственные интегралы второго рода

Пусть на полуинтервале [a,b) задана функция f(x), интегрируемая на любом отрезке, принадлежащем данному интервалу, однако не интегрируемая на отрезке [a,b]. В точке b эта функция может быть вовсе не определена и стремиться к , либо вовсе не иметь никакого предела. Рассмотрим функцию

она определена при . Эта функция может иметь предел при b->b-0 (левосторонний предел). Этот предел будем называть значением интеграла от f(x)по всему полуинтервалу [a,b} и обозначать в точности:

Определение. Пусть функция f(x)удовлетворяет указанным выше условиям на [a,b). Несобственным интегралом второго рода назовём определенный интеграл

значение которого равняется левостороннему пределу

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения.