29. Выпуклость функции. Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия существование точек перегиба.

График функции y=f(x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале (a,b), если касательная к графику, проведенная в любой точке этого интервала, расположена над (под) графиком функции.

Точки, в которой график функции меняет направление выпуклости, называют точками перегиба графика функции.

(необходимый признак точки перегиба). Если точка х₀ является точкой перегиба графика дважды дифференцируемой функции, то в этой точке вторая производная равна нулю: =0.

(достаточный признак точки перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через нее вторая производная меняет знак, то данная точка является точкой перегиба.

30. Асимптоты графика функции. Уравнение асимптоты вертикальной и наклонной.

Асимптотой функции называют прямую, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат.

Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва функции и границами области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет.

Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва второго рода

• этом случае f( x₀ ± 0) = ± ∞, или f ( x₀ ± 0) = + ∞ , или f (x₀ ± 0) = − ∞.

Следует отметить, что в этом случае может отмечаться всё разнообразие поведения функции в окрестности

точки разрыва .Например, на рис. 1 приведён график элементарной функции

- наклонная асимптота

Уравнение наклонной асимптоты функции y = f (x) определим уравнением y =k·x + b. При этом параметры наклонной асимптоты определяются соотношениями

, .

Для того, чтобы функция y = f (x ) имела асимптоту y = k ·x + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали указанные выше конечные пределы.

31. Общая схема исследования функций методами дифференциального исчисления.

Общая схема исследования функции и построения ее графика:

1)Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).

2)Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.

3)Найти точки пересечения с осями координат

4)Установить, является ли функция чётной или нечётной.

5)Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).

6)Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.

7)Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.

8)Найти наклонные асимптоты функции.

9)Построить график функции.

32. Первообразная для функции, не определённый интеграл, его свойства.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т.е.

Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: по заданной функции f(x ) требуется найти функцию F(x), производная которой равна f(x).

Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом

Основные свойства:

1) (Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.)

2) Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

3) , где k – произвольная константа.

Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

4) Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

33. Интегрирование элементарных функций (таблица интегралов)

Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе, но в отличие от операции дифференцирования она выводит из множества элементарных функций. Из теоремы Лиувилля следует, например, что интеграл от не является элементарной функцией.

Интеграл элементарной функции не всегда сам является элементарной функцией. Наиболее распространённые функции, интегралы которых найдены, собраны в таблице интегралов. В общем случае имеет место теорема:

Теорема Лиувилля. Если интеграл от элементарной функции сам является элементарной функцией, то он представим в виде

где — некоторые комплексные числа, а — алгебраические функции своих аргументов.

Доказательство этой теоремы Лиувилль основал на следующем принципе. Если интеграл от Y берётся в элементарных функциях, то верно

где — алгебраическая функция, — логарифм или экспонента алгебраической функции и т. д. Функции являются алгебраически независимыми и удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений вида где — алгебраические функции своих аргументов. Если — семейство решений этой системы, то

откуда

Для некоторых классов интегралов эта теорема позволяет весьма просто исследовать разрешимость в элементарных функциях задачи об интегрировании.

34. Интегрирование функций. Замена переменной в неопределённом интеграле.

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:

а) , где – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае: ;

б) , где U – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке: .

Примеры.

1. Найти интеграл .

Решение. Перепишем данный интеграл в виде . Так как производная выражения равна 2/х, а второй множитель 1/х отличается от этой производной только постоянным коэффициентом 2, то нужно применить подстановку . Тогда . Следовательно,

35.Интегрирование функций. Формула интегрирования по частям.

Пусть u(x) и v(x) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функций u и v определяется формулой

Проинтегрировав обе части этого выражения, получим

или, переставляя члены, Это и есть формула интегрирования по частям.

36. Интегрирование элементарных рациональных дробей.

Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов. Метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

где — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.

37. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на элементарные дроби.

38. Интегрирование рациональных выражений от тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка.

39. Интегральная сумма. Понятие определённого интеграла, интегрируемость функции. Геометрический смысл определённого интеграла.

Интегральной суммой будет называться сумма площадей прямоугольников с основанием [xi−1,xi] и высотой f(ξi), то есть: ∑n(сверху)i(снизу)=1Δxif(ξi).

Если при стремлении диаметра разбиения к нулю существует предел последовательности интегральных сумм, то функция f(x) называется интегрируемой по Риману, а предел — определённым интегралом Римана, и обозначается ∫b(сверху)a(снизу)f(x)dx

Если существует конечный предел I интегральной суммы при λ → 0, и он не зависит от способа выбора точек ξ i, способа разбиения отрезка, то этот предел называется определенным интегралом от функции f (x)по отрезку [a, b] и обозначается следующим образом: или

если существует указанный предел, то функция f(x) называется интегрируемой на[a,b] по Риману.

Геометрический смысл определённого интеграла состоит в том, что он представляет из себя площадь криволинейной трапеции, то есть фигуры, ограниченной осью абсцисс, графиком функции и осями x=a, x=b.

40. Свойства определённого интеграла

Свойство 1. Производная от определённого интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела. То естm

Свойство 2. Определённый интеграл от суммы функций равен сумме неопределённых интегралов

Свойство 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла

Свойство 4. Если на отрезке [a,b] , где a<b , функции f(x) и g(x) удовлетворяют условию f(x)<=g(x) , то

Свойство 5. Если m и M - наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a,b] и a<=b , то

Свойство 6. Если поменять местами верхний и нижний пределы интегрирования, то определённый интеграл изменит знак

Свойство 7. Для любых трёх чисел a,b,c справедливо равенство если только все три интеграла существуют.

Свойство 8 (Теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] , то на этом отрезке найдётся такая точка c , что справедливо равенство: