21. Правила дифференцирования (производные сложной и обратной функции).

(производная обратной функции).

Пусть y=f(x) - функция от аргумента x в некотором интервале(a,b) . Если в уравнении y=f(x) y считать аргументом, а x - функцией, то возникает новая функция , где - функция обратная данной.

Теорема (о дифференцировании обратной функции)

Для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е

Пример 1. Найти x'_y, если y = 2x³+3x⁵+x Имеем y' = 6x²+15x⁴+1, тогда x'_y = 1/y'_x = 1/(6x²+15x⁴+1).

(дифференцирование сложной функции).

Пример 5. Найти y', если y = 5^{cos x}. y' = 5^{cos x}(-sin x)ln 5=-5^{cos x} sin x ln 5.

22. Дифференцируемость функции. Дифференциал одной переменной, его геометрический смысл.

Определение. Если функция y = f(x) имеет производную в точке x = x0, то функция дифференцируема в этой точке.

. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Геометрический смысл дифференциала

Построим график функции y = f (x). В точке M(x, f (x)) проведем касательную MT. Как известно, tg α = f ' (x), из Δ ТМР имеем TP = MP· tg α, MP = Δ x = dx, поэтому

TP = f '(x)·dx = dy.

Дифференциал функции есть приращение ординаты касательной.

Замечание. Из определения дифференциала следует, что производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента

23. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

Пусть функция определена на и дифференцируема в каждой точке этого интервала. Тогда на интервале определена функция . Пусть функция дифференцируема в некоторой точке , то есть . Тогда эта производная называется производной второго порядка функции в точке .

;

Теорема (формула Лейбница). Пусть и в точке . Тогда в этой точке

Пусть функция задана и дифференцируема на некотором интервале , тогда для , причем . Заметим, что функция - это функция двух переменных и . Рассмотрим функцию как функцию переменной (фиксируем ).

Пусть имеет производную в некоторой точке . Тогда функция имеет дифференциал в точке .

Определение. Дифференциалом второго порядка в точке называется дифференциал от дифференциала первого порядка в этой точке и обозначается:

Аналогично определим дифференциа любого порядка. Пусть функция дифференцируема раз на интервале и для некоторой точки .

Определение. Дифференциалом порядка функции в точке называется дифференциал от дифференциала порядка в этой точке и обозначается:

24. Экстремум функции одного переменного, необходимое условие экстремума (теорема Ферма), Теорема Ролля.

Теорема Ролля.. Пусть: Функция непрерывна на отрезке : ; Для любого x из интервала существует производная: ;Значения функции на концах отрезка равны: . Тогда существует такое , что производная .

Доказательство Функция непрерывна существуют .Если , то функция является константой, и ее производная в любой точке равна 0, т.е. теорема доказана.Если же , то оба значения не могут достигаться в концевых точках, т.к. и .

Тогда хотя бы одно из них достигается во внутренней точке c, и, по теореме Ферма

Пусть функция f (х) определена на отрезке [a;bJ и во внутренней точке Хо этого отрезка принимает оптимальное (максимальное или минимальное значение) значение. Пусть в точке Хо существует производная f'(хо). Тогда f'(хо) = о.

Доказательство.

Предположим противное - пусть Хо - точка экстремума функции f (х), и пусть f'(Хо) Ф о. Рассмотрим для определѐнности случай, когда Хо - точка минимума; предположим, что f'(Хо) > о, тогда слева от точки Хо по теореме о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции должно выполняться неравенство f (х) < f (хо), что противоречит предположению о том, что Хо - точка минимума. Если мы предположим, что

f'(Xq) < 0, то справа от точки Xq должно быть верным неравенство f (х) < f (xо), чего также не может быть. Таким образом f'(Xq) = 0, что и требовалось доказать.