8) Предел функции в точке.
Введем понятие предела функции в точке. Пусть на множестве D задана функция у = f(х). Рассмотрим поведение функции при стремлении аргумента к числу х0, т.е. х>х0. Выберем произвольную последовательность значений аргумента {x1,x2,…xn,…}={xn}, общий член которой xn неограниченно близко приближается к числу х0, т.е. стремится xn>х0. При этом соответствующие значения функции образуют числовую последовательность {f(x1), f(x2),…f(xn),…} = {f(xn)}.
Определение: Число А называется пределом функции у = f(х) в точке х = х0, если для любой последовательности значений аргумента {xn}, стремящейся к х0, т.е. xn>х0, соответствующая последовательность значений функции {f(xn)} стремится к числу А, т.е. f(xn)>A.
Введём понятие предела функции на бесконечности. В этом случае значение аргумента неограниченно возрастает до бесконечности.
Определение: Число А называется пределом функции у = f(х) на бесконечности при х> , если для любой последовательности значений аргумента, стремящейся к бесконечности, т.е. xn> , соответствующая последовательность значений функции стремится к числу А, т.е. f(xn)>A.
9) Свойства предела функции в точке.
Определение: Число b называется пределом функции y=f(x) при х → а, если, по мере того как x, приближается к а – будь то справа или слева значение f(x) неограниченно приближается к b.
Запись:
Основные свойства предела функции в точке:
I. Если функция имеет предел при х → а, то только один.
II. Если функция имеет предел при х → а, то она ограничена в некоторой окрестности точки a.
III.
Если существует
и С-постоянная функция (число), то
IV.
Пусть
,
тогда:
1)
2)
3)
Если
условия этих теорем не выполняются, то
могут возникнуть неопределенности вида
и др., которые в простейших случаях
раскрываются с помощью алгебраических
преобразований.
10) Замечательные пределы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:
Замечательный тригонометрический предел ---
Замечательный показательно-степенной предел ---
Замечательный
логарифмический предел --------------
Замечательный
показательный предел
11. Правило Лопиталя. Пусть f(x) и g(x) определены на отрезке (a,b), дифференцируемы (g’(x)≠0) и f(x)g(x)=0 или ∞, тогда предел отношения этих функций = пределу отношения производных этих функций.
12. Неопределённости 00, 1∞, ∞0. Находят предел натурального логарифма выражения, содержащего данную неопределённость, а после нахождения предела от него берут экспоненту.
13. Бесконечно малые/большие величины.
Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.
Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.
Бесконечно малая величина
Последовательность
называется бесконечно малой, если
.
Например, последовательность чисел
— бесконечно малая.
Функция
называется бесконечно малой в окрестности
точки
, если
Функция
называется бесконечно малой на
бесконечности, если
либо
Также
бесконечно малой является функция,
представляющая собой разность функции
и её предела, то есть если
, то
,
Бесконечно большая величина
Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsinx , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при x-->+ бесконечность.
Последовательность
называется бесконечно большой, если
Функция
называется бесконечно большой в
окрестности точки
, если
Функция
называется бесконечно большой на
бесконечности, если
либо
