Лекция 5 Системы счисления

Одно и то же число можно представить разными способами. Например, число 4 можно представить в виде слова “четыре”, изобразить его римскими цифрами – IV или записать в виде четырех палочек – ||||.

Способ представления чисел называется системой счисления. Системы счисления бывают двух видов – позиционные (в которых “вклад” каждой цифры в число зависит от ее местоположения в записи числа) и непозиционные – все остальные. Примером позиционной системы является общепринятая десятичная система, непозиционной – римская. Так, например, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) значение цифры X в любой позиции равно десяти.

Представление целых неотрицательных чисел

В позиционных системах запись целого числа в развернутой форме определяется по следующему правилу:

A = an·pn+an-1·pn-1 +an-2·pn-2+...+a1·p1+ a0·p0 (1)

где: a_na_n-1a_n-2…a₁a₀ — запись числа A (например, трехразрядное число 345); а_i – составляющие его цифры (3, 4, 5); p - основание системы счисления, в которой записано данное число; n – номер разряда.

 1) Десятичная система

p = 10 (основание системы 10);

число 123₍₁₀₎ (свернутая форма) = 1 * 10² + 2 * 10¹ + 3 * 10⁰ (развернутая)

число 3635=3·10³+6·10²+3·10¹+5·10⁰ (3 тысячи+6 сотен+3 десятка+5 единиц).

Или, например: в десятичном числе 765,4 первая цифра семерка означает 7 сотен, вторая – 6 десятков, третья - 5 единиц, а четвертая – 4 десятых долей единицы.

Сама же свернутая (сокращенная) запись числа 765,4 означает запись в расширенной форме :

700 + 60 + 5 + 0,4 = 7•10² + 6•10¹ + 5•10⁰ +4•10^-1 = 765,4.

 2) Двоичная система

р=2 (основание системы 2) ;

число 1011₂ (свернутая форма)= 1·2³+0·2²+1·2¹+1·2⁰ (развернутая форма)

число 10110₂ =1х2⁴+0х2³+1х2²+1х2¹+0х2⁰

Нижним (подстрочным) индексом в записи числа обозначается основание системы счисления, в которой записано число. Для десятичной системы счисления индекс можно не указывать.

Представление дробных и отрицательных чисел

Во всех позиционных системах для записи отрицательных и дробных чисел используется знак «–». Для отделения целой части числа от дробной используется запятая. Запись числа A выполняется по формуле, являющейся обобщением формулы (1):

A = an·pn+an–1·pn–1+an–2·pn–2+…+a1·p1+a0·p0+a–1·p–1+a–2·p–2+… (2)

Примеры: 36,6 = 3·10¹+6·10⁰+6·10^–1

–3,214 = –(3·10⁰+2·10^–1+1·10^–2+4·10^–3)

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Следует понимать, что при переводе числа из одной системы счисления в другую, количественное значение числа не изменяется, а меняется только форма его записи.

Для перевода целого числа из десятичной системы в любую другую систему счисления нужно делить до конца это число на основание той системы, в которую переводим число, а потом прочесть остатки справа налево (снизу вверх).

Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную нужно записать число в расширенной форме и все сложить.

Переведем десятичное число 114 в двоичную систему:

114:2= 57 (остаток 0)

57:2=28 (остаток 1)

28:2=14 (остаток 0)

14:2=7 (остаток 0)

7:2 =3 (остаток 1)

3:2=1 (остаток 1)

1:2= не делится (остаток 1)

Перечисленные нами остатки записанные снизу вверх будут искомой записью числа: 114₁₀ = 1110010₂

Перевод дробных частей чисел выполняют следующим образом:

1. Умножим дробную часть числа на основание p требуемой системы.

2. Целая часть полученного результата будет очередной цифрой a_m (m = –1,–2, –3 …) записи числа в новой системе счисления. Если дробная часть результата равна нулю, то перевод числа закончен, иначе применяем к ней пункт 1.

Переведем десятичное число 0,625₁₀ в двоичную систему счисления.

 0,625·2 = 1,25 (целая часть 1) a_–1 =1

0,25·2 = 0,5 (целая часть 0) a_–2 = 0

0,5·2 = 1,00 (целая часть 1) a_–3 = 1

Дробная часть равна 0 – перевод закончен.

Итак, 0,625₁₀ = 0,101₂

Переведем десятичное число 114,625 в двоичную систему счисления.

Число содержит как целую, так и дробную часть. Обе части должны преобразовываться по отдельности, независимо друг от друга.

Сначала преобразуем целую часть (114) и затем дробную части (0,625) (это было показано ранее): 114₁₀ = 1110010₂ и 0,625₁₀ = 0,101₂

Запишем число полностью 114,625₁₀ = 1110010,101₂

Переведем двоичное число А = 1100,011 в десятичное:

А = 1*2³+1*2²+0*2¹+0*2⁰+0*2^-1+1*2^-2+1*2^-3 = 8+4+0+0+0+0,25+0,125 = 12,375

Переведем число 12345 из восьмеричной системы в десятичную.

12345₈ = 1х8⁴ +2х8³ +3х8² + 4х8¹ + 5х8⁰ =5349₁₀

Можно воспользоваться другим методом перевода числа из любой системы счисления в десятичную: начнем с самой крупной цифры, умножив ее на основание системы, в которой записано это число, и добавим следующую цифру справа. Будем повторять этот процесс, пока последняя цифра не будет добавлена. Переведем 13754₈ в десятичную систему.

1

x8

8 + 3 =11

x8

88 + 7 = 95

х8

760 + 5 = 765

x8

6120 + 4 = 6124₁₀

Для перевода чисел из одной системы счисления в другую удобно использовать стандартную программу Калькулятор вашего компьютера. Для этого воспользуемся последовательностью команд Пуск - Программы – Стандартные - Калькулятор - Вид – Инженерный. Поставим с помощью одного из переключателей Hex, Dec, Oct или Bin название системы счисления, в которой записана интересующая нас цифра, а затем наберем и саму цифру. Например, Dec 27. Мы переведем ее в двоичную систему, если щелкним на переключателе Bin. Получим 11011. Мы переведем ее в шестнадцатеричную, щелкнув Hex. Получили 1В.

Еще более удобно использовать возможности Microsoft Office Excel 2007 для перевода чисел из одной системы в другую. Например, Вы хотите преобразовать десятичное число 27 в шестнадцатеричное. Для этой цели мы выбираем последовательность команд: вкладка Formulas –Insert Function – выберите категорию Engineering - выбираем функцию DEC2HEX, указываем в контекстном меню нужное число 27. ОК. Получаем 18.