Тема 6. Средние величины и показатели вариации Сущность и использование средних величин

Средняя величина характеризует типичный уровень варьирующего признака. Она отображает то общее, что объединяет всю статистическую совокупность. Условия применения средней:

S согласно ЗБЧ, средняя проявляется лишь в случае обобщения массовых фак­тов;

S статистическая совокупность должна быть качественно однородной; S должна иметь место разница индивидуальных значений признака. Виды средних величин и методы их расчета

n

Z x

I X^ I ф Ф Ф I X „ ■ 1

X 1 2 n z_1

Арифметическая средняя: ^{n n} , где ⁿ - численность совокуп­

ности; ^x - значение признака. Используется, если известны индивидуальные значения признаков.

Если данные сгруппированы используют взвешенную арифметическую сред-

_ £ Xjf

нюю: х— , где f - частота повторяемости признака.

f

В интервальном ряду распределения сначала рассчитывается среднее значение интервала. Эта величина и будет x_t .

Свойства средней арифметической:

S алгебраическая сумма отклонений всех вариантов от средней равна нулю;

S если каждый вариант уменьшить или увеличить на некоторую постоянную величину, то средняя изменится на ту же величину;

S если каждый вариант умножить или разделить на любое число, то средняя увеличится или уменьшится во столько же раз;

S если частоту каждой из групп уменьшить или увеличить в одно и то же число раз, то средняя при этом не изменится;

S сумма квадратов отклонений вариантов от средней арифметической меньше, чем от любой другой величины.

Используя свойства средней арифметической, рассматриваю упрощенный

способ определений средней арифметической - способ «моментов».

* (—) f

-=m_}-d+A , = d , где m₁ - момент первого порядка, d- величина интер-

^т- zf

вала, A - значение признака, которое находится в середине ряда распределения и имеет наибольшую частоту.

Если анализу подлежат не сами варианты, а обратные им числа, то используют среднюю гармоническую:

n У M

у 1 ; взвешенная: у M ^У x ^У Т

х = х = ■

средняя гармоническая простая: у 1 ; взвешенная: _VM , где M = x• f . Другие виды средних величин:

У _x² 3 У _x³

средняя квадратическая: _x- = ^ ¹ ; средняя кубическая: _x^₆=¹

n ^куб~ \ n

* у xk

средняя геометрическая: х-_ом=nvx₁-x₂-..rx_n; степенная средняя: _х=

\ n

Структурные средние в статистике

Характеристики центра распределения: мода и медиана. Мода - наиболее часто встречающийся признак.

^f M — ^f M—1

Mo = ———- —- ——- ) I i_M + x

⁽Jm„ ^f M—IJM„ ^f M„+I⁾

^M 0 ^M0

^xm₀ - нижняя граница модального интервала; ¹m₀ - величина модального интервала; ^fM₀ - частота модального интервала;

^fM₀+i , ^f M—1 - частоты интервалов предыдущего модальному и последующего за модальным.

Медиана - середина упорядоченного ряда, делит ряд на две равные части. В дискретном ряду Me определяется по накопленным частотам.

У f

Порядковый номер медианы в интервальном ряду N⁰M_e = ^ • В ряду кумуля­

тивных частот находим интервал, в который попадает N M_e . Этот интервал и будет медианным.

Тогда в интервальном ряду медиана рассчитывается так:

₂ m ¹

m m

ee

m

e

^fm

Me = х +i_m i-

x

m

e

—

нижняя граница медианного интервала; величина медианного интервала;

^Sm-i - накопленная частота предшествующего медианному интервала;

fm_e - частота медианного интервала.

Мода и медиана - особенный вид средних величин, они всегда совпадают с кон­кретными вариантами, на них не влияют значения вариантов, не характерных для дан­ной совокупности.

Если X ^Mo^Me , то совокупность считают однородной, а распределение сим­метричным.

Показатели вариации, их виды

Размах вариации R - разница между максимальным и минимальным значением вариационного ряда: ^R=^x_max ^{- x}_mm

Среднее линейное отклонение - средняя арифметическая из абсолютных значе­ний отклонений отдельных вариантов от средней величины:

/ Л _ —\х-х|

v для ряда, в котором значения встречаются 1 раз: _ =—n— •

_{х X} —\х-1\f

v для ряда с разными частотами: 1 = ——

^—

Дисперсия о² - средний квадрат отклонений вариантов от среднего значения.

Т-Т 2 — (х-1 )²

Простая: о²=— — - для несгруппированных данных.

n

— ( )2 f

Взвешенная: о²=—⁽ _f ^f - для сгруппированных данных.

Среднее квадратическое отклонение: о=40² (бывает простое и взвешенное).

Коэффициент вариации: v=⁰ Х100 .

_

Если v < 33 , то совокупность однородна.

Коэффициент вариации используется для сравнения варьируемости нескольких признаков.

Упрощенные способы расчета дисперсии

Способ 1. Варианты выражены небольшими и немногозначными числами:

₂ ~ ~₂ ~2 EX f ~2 i I xf У * = ^^- ^ , ^{ГДе X} =-f ^{и X}=(~f) ■

Способ 2. Используется для рядов распределения с равными интервалами (способ «моментов»).

a² = d² (m₂ - m]) , где *^{( ] f} * ⁽ ^ ^f

^{Щ = m}2⁼ Iff '

где m_x - момент первого порядка, m₂ - момент второго порядка.

Дисперсия альтернативного признака. Используют когда изучают не среднюю величину, а долю единиц, которые имеют или не имеют этот признак.

Наличие признака примем за «1», отсутствие - «0». Тогда долю единиц, имеющих данный признак, обозначим как «р», а долю единиц, не имеющих при­знака - «q».

_ Ixf l-p + 0-q

Тогда среднее значение альтернативного признака: -=~f~ = + q = р

Дисперсия альтернативного признака:

_а2 =^{1 (x-}-^{) f} = ^{( 1-}р⁾² р+^(0-q ⁾²q = qp⁽q+р⁾ =

^ff р + q р + q

Вариация сгруппированных данных

Введем обозначения: Общая дисперсия а². Групповая дисперсия а² . Средняя из групповых а². Межгрупповая дисперсия S² .

Общая дисперсия характеризует вариацию числовых значений результирующего признака, связанного с вариацией факторов, влияющих на нее.

Групповая дисперсия отображает вариацию признака, факторов:

К Xi - . )²f i

2 " ■ ^{( X} а; =

I fi ■

~ . -2 I ^.f.

Средняя из групповых дисперсий: а₁ = —

Вариант (признак)	Д оля
1	р
0	q

^f i

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию групповых средних, то есть вариацию результирующего признака, который связан с вариацией группирующего

_о2 £(х-х)²л

признака. о = .

J i

Таким образом, общая дисперсия признака в совокупности должна определяться как сумма вариации за счет одного выделенного фактора и за счет остальных факто­ров: о^/ = ё^/+о^/₁