5. Дати визначення алгебри множин. Навести закони алгебри множин.

Множина всіх підмножин множини U із заданими операціями(об’єднання, перетин, різниця, заперечення) складає алгебру множин.

Пріорітет операцій:

1)заперечення;

2)перетин;

3)об’єднання;

4)різниця.

Закони алгебри множин:

1. Комутативні закони:

1.1 A U B = B U A. 1.2 A Ω B = B Ω A

2. Асоціативні закони:

2.1 A U(B U C)= (A U B)U C 2.2 AΩ(BΩC)=(AΩB)ΩC

3.Дистрибутивні закони

3.1 A U(B U C)=(A U B)U(A U C)

3.2 AΩ(BΩC)=(AΩB)Ω(AΩC)

4. закони ідемпотентності

4.1 A U A= A

4.2 AΩA= A

5.закони над універсальними і пустими множинами

5.1A U Ǔ=Ǔ

5.2 AΩǓ =A

5.3 A U 0=A

5.4 AΩ 0 = 0

6.Закон подвійного заперечення

A(--)=A

7.1_A U B_= -AΩ-B

2. _AΩB_=-A U –B

6. Добуток множин. Декартів добуток множин. Теорема о потужності прямого добутку.

Прямим або декартовим добутком множин А і В називають множину всіх таких векторів а і в, що а є А, в є В.

Теорема. Нехай дано н-множин А1,А2,…АН, тоді потужність цих множин буде дорівнювати |А1| = м …|АН|=мн і тоді потужність прямого добутку н множин буде дорівнювати добутку потужностей відповідних множин.

7. Дати визначення булеану. Як знайти потужність булана?

Множина всіх підмножин називається булеаном. І позначається β(А).

Потужністю множини називають кількість елементів цієї множини.

|А| = 4

Card А = 4

|β(А)|= =

8. Дати визначення потужності множин. Як знайти потужність об’єднання множин?

Потужністю множини називають кількість елементів цієї множини.

Потужність об’єднання = потужність А + потужність В.

9. Дати визначення вектора. Що таке проекція вектора?

Вектором називається упорядкований набір елементів, при цьому елементи можуть повторюватися, елементи вектора 0- координати або компоненти . а число – розмірність вектора.

Проекція вектора на вісь і називається його і-тий компонент. прВ

В(1,2,3,1). прВ4=1

10. Дати визначення відношенню. Тотожне та універсальне відношення.

n-Місним відношенням R на множину A1…An називають підмножину їх прямого добутку.

Іншими словами, якщо елементи х1, х2…хн, такі що х1єА1, х2єА2, хнєАн, пов’язані відношенням Р.

11. Навести графічні засоби представлення відношень на будь-якому прикладі.

Як приклад розглянемо графічний спосіб задання відношення генеалогічне дерево деякої родини.

12. Навести засоби представлення відношень на будь-якому прикладі.

1. Координатний;

2. Лінійно-координатний;

3. Лінійний;

4. Графічний.

13. Дати визначення бінарних відношень. Дати визначення областей визначення та значення відношень.

n-Місним відношенням R на множину A1…An називають підмножину їх прямого добутку. коли n= 2 то це відношення бінарне.

Нехай R – деяке відношення між Х і У. Областю визначення відношення R називається множина , що складається з усіх елементів множини Х, які зв’язані відношенням R з елементами множини У.

Областю значень відношення R називається множина, що складається з усіх елементів множини У, які зв’язані відношенням R з елементами множини Х.

14. Навести визначення розбиття та покриття множин. В чому полягає різниця між поняттями?

Нехай існує не пуста множина А і є деяка сукупність підмножин Аі, і=1, nєN, таких підмножин, що об’єднання таких Аі дають саму множину А. тоді сукупність таких підмножин, називають покриттям множини А.

Розбиттям множини А називають сукупність таких підмножин Аі, що їх об’єднання дає саму множину А і ніякі 2 множини із цієї множини не перетинаються.

15. Які існують властивості відношень? Навести визначення.

Відношення можуть бути рефлексивними, транзитивними, симетричними, асиметричними.

Відношення рефлексивно, якщо виконується хрх для будь-яких х, які належать множині.

Відношення р симетричне, якщо хру слідує, що урх.

Відношення р транзитивно, якщо хру і урз, слідує хрз.

Асиметричність якщо хру і урх слідує що х=у

16. Дати визначення відношення еквівалентності.

Бінарне відношення називають відношенням еквівалентності, якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне.

17. Дати визначення відношення порядку. Принципи побудови діаграми Хассе.

Відношення порядка – називають відношення, яке рефлексивне, транзитивне і антисиметричне.

Деякі відношення часткового порядка на множині А, якщо існує х у і виконується хру, то х – називають попереднім елементом, а у – послідуючим.

Якщо х – попередники і не існує такого з, що хрз і зру, то х називають безпосередніми попередниками.

Діаграма Хассе залежності елементів в множині від безпосередніх і просто попередників.

18. Дати визначення поняттю решітки.

Частковий порядок заданий на множині в якому для будь-яких двох елементів множини існує нижня і верехня границя, називається решітчастим порядком, а саму множину решіткою.

19. Дати визначення функції та оберненого відношення.

Нехай R бінарне відношення. Обернене відношення до R позначається . упорядкована пара(у,х) належить . тоді і тільки тоді, коли (х.у) належить R.

Функція – це таке відношення, коли кожному хєХ відповідає тільки один елемент уєУ.

20. Дати визначення областей визначення та значення функції. Повністю та частково визначені функції.

Нехай R – деяке відношення між Х і У. Областю визначення відношення R називається множина , що складається з усіх елементів множини Х, які зв’язані відношенням R з елементами множини У.

Областю значень відношення R називається множина, що складається з усіх елементів множини У, які зв’язані відношенням R з елементами множини Х.

21. Дати визначення булевої функції. Функції одного та двох аргументів

Мулевими функціями, називають такі функції, в яких всі аргументи як і самі функції можуть приймати лише два значення. Зазвичай це (0,1).(істина, неправда)

22. Булева функція трьох аргументів.

23. Принципи побудови таблиці істинності булевої функції.

Таблиці, в яких кожному набору аргументів поставлено у відповідність її значення, називають таблицями істинності мулевої функції.

В таблиці істинності кожній змінні й та значенню самої функції відповідає по одному стовпчику, а кожному набору аргументів - по одному рядку. Кількість рядків відповідає кількості аргументів функції.

24. Навести закони булевої алгебри.

Асоціативність

Х(уз)=(ху)з

Х+(у+з)=(х+у)+з

Комутативність

Ху=ух

Х+у=у+х

Дистрибутивність

Х(у+з)=ху+хз

Х+(уз)=(х+у)(х+з)

Ідемпотентність

Хх=х

Х+х=х

Закони для нуля, одиниці та заперечення

Х+0=Х, х+(-х)=1, х*1=х, х*(-х)=0

Правило де-Моргана

25. Дати визначення СДНФ. Принципи побудови СДНФ по булевій функції.

Досконалою диз’юнктивною нормальною формою(ДДНФ) мулевої функції називається формула, що зображена у вигляді диз’юнкції конституант одиниці даної функції.

Алгоритм переходу від формули до ДДНФ:

1. Виключити константи, використовуючи закони дій з константами.

2. Опустити знаки заперечення безпосередньо на змінні, використовуючи закони де Моргана.

3. Використовуючи дистрибутивний закон, розкрити дужки. До одержаних елементарних кон’юнкцій застосувати закони ідемпотентності й протиріччя, спросити їх і звести подібні.результати виконання вказаних дій є одержання ДНФ мулевої функції.

4. Побудувати конституанти одиниці функції введенням у кожну елементарну кон’юнкцію відсутніх змінних, використовуючи закон виключеного третього.

5. За допомогою дистрибутивного закону розкрити дужки і звести подібні, використовуючи закон ідемпотентності. Одержана формула відповідає ДДНФ функції.