10. Определение эластичности функции.
Анализируя ф-ю спроса, Алан Маршалл ввел понятие эластичности ф-и спроса. В дальнейшем это понятие было обобщено на произвольную экономич ф-ю.
Эластичностью
Exy(x0)
непрерывной функции y=f(x)
в точке x=
x0
называется предел отношения относительного
приращения ф-ии в точке x0
к относительному приращению аргумента
в точке x0,
когда абсолютное приращение ∆х→0.
Из
определения следует,
что при малых ∆х:
,
т.е. Эластичность
– коэф. пропорциональности м/у
относительными изменениями величины
ф-ии и аргумента. Показывает
на сколько % измениться относительное
приращение ф-ии, еслт изменить на 1 %
относительное приращение аргумента.
Из
анализа определения следует выражение
для эл через произв:
Следовательно, если ф-я y(x) на промежутке (a,b) дифференцируема, то для нее можно вычислить производную в точке х℮(a,b) эластичность
Коэф эл-ти представл собой эк интерес. Формулы расчета коэф эл для широко исп типов ф-й.
Линейная y=a+bx |
y’x=b |
Ey(x)=bx/(a+bx) |
Квардратичн трехч y=a+bx+cx2 |
y’x=b+2cx |
Ey(x)=(b+2cx)x/(a+bx+c2 |
Обратно пропорц y=a/x |
y’x=-a/x2 |
Ey(x)=-1 |
Показат y=abx |
y’x=abxlnb |
Ey(x)=xlnb |
Степенная y=axα |
y’x=aαxα-1 |
Ey(x)=α |
Следуют особо обратить внимание на степ ф-ю. для нее коэф эл представл собой пост в-ну равную пок-лю степени альфа.
Как частный случ ст ф-и, обр пропрорц ф-я (α=-1) имеет Ey(x)=-1
.
11. Свойства эл-ти.
1.
Пусть даны непрерывные функции
Кроме того
Тогда
для функции ее
эластичность Еy
будет удовлетворять следующему условию:
Доказательство
2. Пусть функции
Тогда эластичность произведения функций
y(x)*
z(x)
равна сумме их эластичностей, а
эластичность частного- разности их
эластичностей, т.е.
Доказательство
3.
Пусть дана сложная функция y=
y(x),
где x=
x(t),
Тогда
эластичность функции y(t)
удовлетворяет равенству
Доказательство
4. Пусть для функции y=f(x)
существует обратная функция x=
g(y).
тогда эластичность обратной функции
удовлетворяет соотношению:
Доказательство
Поскольку
для обратной функции выполняется
тождество f(g(y))=y,
тоб применяя cв-во
3 получим
12. Эластичость лин и квадратичной ф-й
Анализируя ф-ю спроса, Алан Маршалл ввел понятие эластичности ф-и спроса. В дальнейшем это понятие было обобщено на произвольную экономич ф-ю.
Определение. Эластичн Eyx(х0) непр ф-и y=f(x) в точке х=х0 наз предел отнош относит приращения ф-ции в точке х0 к относит приращ аргумента в точке х0, когда абс приращ ∆х стремится к 0, т.е
– коэф эл-ти ф-и у по х в точке х=х0.
Из определения следует, что при малых ∆х: , т.е. Эластичность – коэф. пропорциональности м/у относительными изменениями величины ф-ии и аргумента. Показывает на сколько % измениться относительное приращение ф-ии, еслт изменить на 1 % относительное приращение аргумента. Из анализа определения следует выр для эл через произв:
Следовательно, если ф-я y(x) на промежутке (a,b) дифференцируема, то для нее можно вычислить производную в точке х℮(a,b) эластичность
Линейная y=a+bx |
y’x=b |
Ey(x)=bx/(a+bx) |
Квардратичн трехч y=a+bx+cx2 |
y’x=b+2cx |
Ey(x)=(b+2cx)x/(a+bx+c2 |
13.эл-ть степенной и обр пропрц ф-и
Анализируя ф-ю спроса, Алан Маршалл ввел понятие эластичности ф-и спроса. В дальнейшем это понятие было обобщено на произвольную экономич ф-ю.
Определение. Эластичн Eyx(х0) непр ф-и y=f(x) в точке х=х0 наз предел отнош относит приращения ф-ции в точке х0 к относит приращ аргумента в точке х0, когда абс приращ ∆х стремится к 0, т.е
– коэф эл-ти ф-и у по х в точке х=х0.
Из определения следует, что при малых ∆х: , т.е. Эластичность – коэф. пропорциональности м/у относительными изменениями величины ф-ии и аргумента. Показывает на сколько % измениться относительное приращение ф-ии, еслт изменить на 1 % относительное приращение аргумента. Из анализа определения следует выр для эл через произв:
Следовательно, если ф-я y(x) на промежутке (a,b) дифференцируема, то для нее можно вычислить производную в точке х℮(a,b) эластичность
Обратно пропорц y=a/x |
y’x=-a/x2 |
Ey(x)=-1 |
Степенная y=axα |
y’x=aαxα-1 |
Ey(x)=α |
Следуют особо обратить внимание на степ ф-ю. для нее коэф эл представл собой пост в-ну равную пок-лю степени альфа.
Как частный случ ст ф-и, обр пропрорц ф-я (α=-1) имеет Ey(x)=-1.
14. эл-ть показат ф-и
Анализируя ф-ю спроса, Алан Маршалл ввел понятие эластичности ф-и спроса. В дальнейшем это понятие было обобщено на произвольную экономич ф-ю.
Определение. Эластичн Eyx(х0) непр ф-и y=f(x) в точке х=х0 наз предел отнош относит приращения ф-ции в точке х0 к относит приращ аргумента в точке х0, когда абс приращ ∆х стремится к 0, т.е
– коэф эл-ти ф-и у по х в точке х=х0. Из определения следует, что при малых ∆х: , т.е. Эластичность – коэф. пропорциональности м/у относительными изменениями величины ф-ии и аргумента. Показывает на сколько % измениться относительное приращение ф-ии, еслт изменить на 1 % относительное приращение аргумента. Из анализа определения следует выр для эл через произв:
Следовательно, если ф-я y(x) на промежутке (a,b) дифференцируема, то для нее можно вычислить производную в точке х℮(a,b) эластичность
Показат y=abx |
y’x=abxlnb |
Ey(x)=xlnb |