30. Модель стабилизации цены на рынке одного товара (модель Эванса)

Существует ряд моделей стабилизации цены на рынке одного товара. Среди них можно выделить модели с дискретным и непрерывным временем работы рынка. К модели с дискретным временем относится «паутинообразная модель». В качестве примера модели с непрерывным временем является модель Эванса.

Для описания данной модели введем следующие обозначения: d(t) = Ф(p(t)) - спрос на товар во время t; p(t) - стоимость товара во время t; s(t) = [р(t)]^_ предложение товара в момент t.

В качестве допущений, на которых строится модель, принимаются следующие:

1)смена цены на товар происходит пропорционально разности между спросом и предложением в данный момент времени, т.е.

∆p = y[d(t)-s(t)]dt, где у — коэффициент пропорциональности (у > 0);

2)спрос на товар падает по линейному закону, т.е d(t)=Ф(p(t)) = а - bp(t),a >0,b >0;

3)предложения товара с ростом цены растут по линейному закону,

т.е. s(t) = ¥(p(t)) = α + βp(t),α > 0, β > 0, α <а.

Согласно допущениям взаимодействие покупателя и производителя товара происходит таким образом, что цена, которая отображает это взаимодействие, непрерывно приспосабливается до складывающейся ситуации на рынке. Цена растет, если спрос превышает предложения и цена падает, если предложения превышает спрос.

Подставив втрое и третье уравнения в первое уравнение, запишем его в виде

∆p/∆t= y[(a-bp(t)-(α +βp(t))] (2.1)

Перейдя к пределу при ∆t —> 0 получим следующее дифференциальное неоднородное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:

∆p/∆t = [(a-α)-(b+β)p(t)]

Для его однозначного решения к нему необходимо присоединить начальное условие р(0) = р₀, характеризующее тот факт, что в начальный момент времени t=0 цена =р₀

Из выражения (2.2) следует, что при начальной цене р₀ меньше стационарной p⁰— >происходит рост цены, так как lim p(t) —> p^o при t —>бесконечности. При p₀ > р⁰ происходит падение цены. Другими словами, в первом случае (р_а < р°) цена достигает равновесного значения увеличиваясь, а во втором случае (р_о> р°) уменьшаясь по сравнению с начальной. При этом равновесная цена р°не зависит от начальной цены р₀. Поскольку функции спроса и предложения являются линейными, то их графики представляют собой прямые линии, а тогда равновесная точка есть точка пересечения прямых линий.

Рис. 2.1 Схема механизма стабилизации цены.

31. Модель предприятия.

Основной критерий, на который ориентируется руководитель фирмы, состоит в максимизации дохода. Для простоты изложения модели рассмотрим задачу максимизации дохода фирмы, которая выпускает один продукт. Введем следующие обозначения для выпускаемой продукции и агрегированных видов ресурсов: У - годовой выпуск продукции в натурально-вещевой форме, т.е. число единиц продукта; К— основные производственные фонды (орудия труда); L — живой труд, представляющий среднюю численность занятых за год рабочих или количество человеко-часов за год; М — предметы (материалы) труда (израсходованные за год топливо, энергия, сырье, металлы, комплектующие изделия и т.п.). Заметим, что каждый из агрегированных видов ресурсов (труд L, фонды К и материалы М) содержит в свою очередь определенное число компонент.

Обозначим через вектор - столбец х вектор объемов затрат ресурсов, компоненты которого х1 = К,х₂ = L,x₃ = М. Тогда технология фирмы определяется ее производственной функцией, которая, как известно, устанавливает связь между выпуском продукции и компонентами ресурсов и имеет вид:

Y = F(x) = F(K, L,M).

Примем гипотезу, что функция Y = F(x) имеет непрерывно дифференцируемые частные производные…..

Если обозначить через W = [w_l,w₂,w_s] — вектор-строку цены компонент ресурсов, а через р -цену продукции, то определенному вектору затрат х соответствует свой доход, определяемый по следующей формуле:

П(У)= pF(x)-(w*x), (2.4)

где (w • х) - скалярное произведение вектор - строки цен ресурсов w на вектор - столбец затрат ресурсов х. В соотношении (2.4) произведение цены на функцию pF(x) представляет стоимость годового выпуска фирмой продукции, а скалярной произведение (w • х) — стоимость затрат ресурсов за год. С учетом принятых обозначений задача на максимум дохода будет иметь вид

П(У) = pF(x) - (w • х) = pF(x1, х₂, х3) - ∑ ->max