28. Модель равновесных цен

Кроме модели Леонтьева, существует двойственная ей, так называемая модель равновесных цен.

Обозначим через р =[p_l,p₂,…p_n] транспонированный вектор- столбец цен, i -я координата которого p_i равна цене единицы продукции i-Й отрасли; х^T = [х,,х₂,...,х_n] 1 - транспонированный вектор-столбец ва­лового выпуска x, А - матрицу прямых затрат.

Как и ранее, предполагается, что каждая отрасль производит один вид продукта (изделия). Тогда, если j -я отрасль выпускает х_i единиц из­делий, то она получит доход, равный XjPj. Часть своего дохода, а именно

∑a_ijx_jp_j j -я отрасль вынуждена будет потратить на закупку изделий других отрас­лей. Оставшуюся часть обозначим через z_j Эта часть дохода идёт на предпринимательскую прибыль и инвестиции, на выплату налогов и зар­плат и т. д. Она носит название добавленной стоимости.

С учётом названных доходов и расходов уравнение баланса, выра­женное в денежных единицах, примет вид p_jx_j=(∑a_ijp_j)x_j+z_j (j=1,n)

После деления на Xj всех членов соотношения (1.10) оно запишется в сле­дующей форме:

p_j=∑a_ijp_j+мю_j, где мю_j=Z_j/x_j (1.11)

Величина мю_j равная отношению добавленной стоимости z_j, к сумме единиц выпускаемой продукции Xj j-ой отраслью, называется нормой добавленной стоимости.

Систему п скалярных уравнений (1.11) можно записать в векторно­матричной форме:

p = A^Tp+мю, где

(1.12)

Уравнение (1.12), являющееся моделью равновесных цен, имеет внешнее сходство с моделью Леонтьева. Отличие заключается в замене вектора валового выпуска х на вектор стоимости р, вектора конечно­го потребления у на вектор норм добавленной стоимости мю., а матрица А заменена на транспонированную матрицу А^Т .

29. Модель международной торговли (модель обмена)

Оптимальной моделью обмена является модель, которая позволяет торгующим между собой странам обеспечить взаимную выгоду. Для меж­дународной торговли это означает отсутствие значительного дефицита торгового баланса для каждой из стран.

Рассмотрим общий случай, когда торговлю между собой осуществ­ляют п- стран, причем i -я страна выделяет на приобретение товаров, в том числе и внутри страны, сумму x_i, составляющую ее бюджет.

Пусть a_ij— доля госбюджета, которую j -я страна тратит на закупки товаров i-й страны. Тогда после подведения итогов торговли за год i-я страна получит выручку:

или в векторно-матричной форме

р=Ах,где

матрица долей госбюджета, идущих на покупку товаров

-вектор-столбец выручек;

- вектор-столбец бюджетов стран.

Рассм когда число стран i=3

p₁=a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃

p₂=a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃

p₃=a₃₁x₁+a₃₂x₂+a₃₃x₃ или в векторно-матричной форме матрица долей гос бюджета 3 гос-в:

Утверждение. Условием бездефицитной торговли является выпол­нение равенства:

р =х или Ах=х, то есть х_i=р_i (1-16)

Доказательство. Предположим, что для некоторого i -го государства справедливо неравенство x_i> p_i (x_i < p_i). Запишем условие (1.16) с уче­том предположения:

p₁=a₁₁x₁+a₁₂x₂+a_1nx_1n=x₁

p₂=a₂₁x₁+a₂₂x₂+a_2nx_1n=x₂

…………………………

p_i=a_i1x₁+a_i2x₂+a_inx_1n>x_i

…………………………

p_n=a_n1x₁+a_n2x₂+a_nnx_1n=x_n

Сложив все равенства и одно неравенство, получим: (∑a_i1)x₁+(∑a_i2)x₂+…+(∑a_in)x_n>∑x_j

Так как суммы в скобке в соответствии с (1.15) равны единице, то получим противоречивое неравенство:

∑x_j>∑x_j

Значит, наше предположение неверно. Аналогично в случае х_i < p_i получим:

∑x_j<∑x_j

Следовательно, доказательство завершено. Другими словами, усло­вие сбалансированной (бездефицитной) торговли означает, что для каждой страны ее бюджет должен быть равен выручке от торговли.