27.Продуктивные модели Леонтьева.

Определение. Матрица А (а> 0; i,j = 1,n) называется продуктивной, если для любого вектора у (у₁ > 0; 1 = 1, и) существует вектор x (х_; > 0; i = \,ri), который является решением векторно-матричного уравнения:

х=Ах+у. (1.5)

Модель Леонтьева, у которой матрица А продуктивная, называется про­дуктивной моделью.

Рассмотрим две теоремы, устанавливающие критерии продуктив­ности.

Теорема 1. Первый критерий продуктивности.

Если для матрицы А (д.. > 0; i,j = 1,и) и для некоторого вектора у(y_i0 >0; i = 1 ,п) уравнение (1.5) имеет решение х (х.„ >0; i = 1,и), то матрица А продуктивна. Без доказательства.

Данная теорема утверждает, что нет необходимости требовать суще­ствования решения X (х_; >0; i — 1 ,п) уравнения (1.5) для любого вектора у (у >0; i = \,п), а достаточно найти хотя бы один такой вектор.

Для замкнутой экономической модели таким вектором может быть вектор y=0 (.у, = 0, i = 1 ,п). Тогда уравнение примет вид: x = Ах или (А — Е)х = 0, (1.6)

где Е — единичная матрица.

В этом случае решение X является собственным вектором матрицы А, соответствующим её собственному числу λ = 1. Таким образом, для продуктивности закрытой модели необходимо, чтобы матрица прямых за­трат А имела собственное число λ= 1.

Теорема 2. Второй критерий продуктивности.

Матрица А (а.. > 0; i,j = 1 ,п) продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е — А)^{- 1} существует и неотрицательна.

Доказательство. Запишем уравнение Леонтьева (1.5) в виде

х -Ах =у, или (А - Е)х =у. (1.7)

Доказательство необходимости. Матрица С = (Е — А) ^-1 существует и C_ij > 0. Тогда решение

х = (Е-А)^-1у (1.8)

существует, а поскольку у вектора у все компоненты у_ij ≥ 0, то и у векто­ра x все компоненты больше или равны нулю, т. е. x_ij ≥ 0. Следовательно, матрица А продуктивна.

Доказательство достаточности. Матрица А продуктивна. Рассмотрим вектор

У=∑e_i

где e, = [l 0 ... О]^Т , е₂=[0 1 ... 0]^Т, ... , е_п-[0 0 ... 1]^T - вектор-столбцы.

Тогда, поскольку система уравнений (1.5) линейна, можно рассмот­реть эквивалентную ей систему из п линейных систем уравнений:

(Е - А) х = e₁,..., (Е-А)х =e_n.

Каждая из этих систем в силу продуктивности матрицы А имеет не­отрицательное решение C1(C > 0), с₂(с_2; > 0), C_n(c_ni > 0), то есть

(Е - А) с₁ = е_1, (Е-А)с₂ = е₂,...,(Е-А) с_n = е_n.

Обозначим через С матрицу, столбцы которой являются вектор- столбцами, то есть С = [С₁, с₂, с_n].

Так как Е = [e1, e2…e_n] является единичной матрицей, то (Е - А)С = Е, следовательно, матрица С есть обратная матрица (Е -А)^-1 к матрице (Е — А), причём с_ij≥ 0. Теорема доказана.

Замечание 1. Экономический смысл вектора е_i, означает, что на внешнее потребление выпускается только одна единица продукта i-й от­расли, так как

y = e_j=[0 ... 0 1 0 ... 0]^T или у_j = 1,у_к = 0; k≠j, к = 1,п.