46. Стандартная ошибка результирующей переменной.

Точечный расчет результирующей переменной у_х(с шапочкой)(х*) должен быть дополнен расчетом стандартной ошибки S- .

Для вывода формулы определения величины стандартной ошибки результирующей переменной у_х(х)(_{с шап)} воспользуемся уравнением линейной регрессии у = a+bx. Подставив в него выражение для свободного члена уравнения а = у(ср)—bх(ср), получим у_х = у — bх + bх = у + b(х - х).

Из последнего выражения вытекает, что выборочная дисперсия (квадрат стандартной ошибки) 5? результирующей переменной у_х (х) зависит от ошибки у и ошибки коэффициента регрессии b, т. е. S²(y_x) = S²(у + Ъ(х - х)). Отсюда получим: £? = Sy + S²(x - х)².

При выводе соотношения для квадрата стандартной ошибки S?

использованы свойства дисперсии: во-первых, дисперсия суммы двух независимых величин у и b равна сумме дисперсии каждой из величин; во-вторых, неслучайная величина (х-х) при вынесении ее за знак дисперсии возведена в квадрат.

Из математической статистики известно, что Л- =—.

Применительно к рассматриваемой задаче, так как а² = S²_ye, будем иметь ajhvekf

Ошибка коэффициента регрессии, как было ранее установлено, равна: S² = — . Тогда получим следующую формулу для вычисления квадрата стандартной ошибки Sy результирующей переменной у_х (х) : S² = Sy + S² (х - х)²

Полученная формула стандартной ошибки S- результирующей переменной у_х(х) при заданных значениях х характеризует ошибку положения линейной регрессии. Величина стандартной ошибки S- , как

видно из формулы, достигает минимума при х* = х .

По мере удаления от него ошибка возрастает, иными словами, чем больше разность между х и х, тем больше ошибка, чем при значении X = х. Следует ожидать наиболее удачные результаты прогноза, если

значение фактора находится в центре опытных данных, и прогноз существенно понижается при выходе за пределы опытных данных.

Заметим, что фактическое значение результирующего фактора варьируется около вычисленного У_х(х) (среднего значения). Индивидуальное значение может быть отклонено от значения у (х) на величину случайной ошибки, дисперсия которой определяется (оценивается) как остаточная дисперсия S*_e.

Формула

42. Оценка значимости лин регр с пом коэф детерминации.

Непосредственному определению коэффициента детерминации предшествует анализ дисперсии. Центральное место в нем занимает разложение общей суммы квадратов отклонений результирующего показателя у от его среднего значения у на две части: на объясненную (факторную) функцией регрессии и необъясненную (остаточную). ГРАФИК В ТЕТРАДКЕ

(общая сумма=объясн + ост)

Таким образом, условно все факторы, определяющие изменение результирующего показателя, разделены на две группы: изучаемый фактор х и прочие факторы. Если изучаемый фактор х не оказывает влияния, то линия регрессии параллельна оси Ох, т. е. уравнение регрессии будет иметь вид: у_х = у=а. сумма факт=0

В этом случае влияние оказывают другие факторы, и, следовательно, вся дисперсия результативного признака обусловлена другими факторами.

Если другие факторы не оказывают влияние на результат у, то он связан с фактором х функционально, и сумма квадратов остатков будет равна нулю. В этом случае все точки корреляционного поля будут лежать на корреляционной прямой.

Тогда если ввести отнош суммы кв факторной к сумме кВ общей как коэф детерминации то он будет изменяться от 0 до 1. При чем если r=0 то связь отсутствует, если =1 то связь тесная функциональная.

r=∑(y_xi-y^-)^2/∑(y_i-y^-)^2=S²_yфакт/S²_yобщ. Через остаточную сумму: =1- S²_yост/ S²_yобщКоэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака у, которая объясняется линейной регрессией.

Замечание 1.

Можно показать что для лин ф-и регр сущ связь r=r_xy² т.е. квадрат коэф корр есть коэф детерминации.

Замечание 2. Коэф корр хар-т тесноту лин ф-ции регр, а детерм для любой.

В случае рассмотрения нелин ф-и регр находят коэф дет и зняю связь между коэ-ми вводят индекс корреляции. R_xy=r^1/2

Замечание 3. Между коэ кор, регрессии b и коэф дет для лин ф-ции регр сущ связь

ФОРМУЛА