34. Мнк для лин ф-и регр

вид: у_х=а+bx. Хар-ет семейства прямых, каждое из которых характеризуется конкретными значениями коэффициентов а и Ь, Наилучшей из всего множества прямых для рассматриваемой выборки является та прямая, которая на плоскости хОу расположена "ближе" всего, в определенном смысле, к опытным точкам. В качестве меры близости прямой и некоторой точки на плоскости можно выбрать расстояние между ними. При этом под расстоянием следует понимать модуль разности между опытным (наблюдаемым) значением результирующей величины и теоретическим.

В качестве критерия близости между прямой и множеством точек на плоскости целесообразно выбрать минимум суммы квадратов этих расстояний. Е=∑(yi-a-bx_i)^2->min. Здесь считается, что y_t и x_i - известные статистические данные; а

и Ъ — неизвестные параметры (коэффициенты) функции регрессии. Поскольку функция Е непрерывна, выпукла и ограничена снизу нулем, то она имеет минимум. Изложенная идея минимизации суммы квадратов отклонений (на плоскости расстояний) опытных от теоретических значений объясняемой переменной положена в основу метода наименьших квадратов.

Для нахождения коэф a и b лин регр, минимизирующих ф-ю, необходимо продифференцировать ее по а и Ъ и приравнять производные нулю:

После преобразований окончательно будем иметь

В рез-те решения будем иметь

35. Мнк для степенной ф-и регрессии

Ф-я регр в данном случ рассм как эк-мат модель. у_х(с шапочкой)=ах^b. Относ к нелин, однако, ее можно линеаризовать,т.е. привести к лин, исп МНК или соотв ф-лы для вычисл коэф a и b. Линеаризация осущ с пом логарифмирования.

Замечание. Под logN по основанию с понимается степень d в кот надо возвести основание чтобы получилось чило N. Log_cN=d, c^d=N. Сущ натур и десят лог. LgN=d, 10^d=N, LnN=d, e^d=N.

Как отмечалось степенная ф-я после логарифм будет иметь вид lgy=lg(ax^b)=lga+lgx^b=lga+blgx. Обозначим lgy=Y, lgx=X, A=lga =>Y=A+bX.

Линеаризуем ф-ю E(A;b)=∑(yi-Y)^2=>min

Чтобы найти A и b, обеспеч миним ф-и необх вычисл ее частные произв от этой ф-и.

Заменим

А=

_{Как видно коэф} b не изм, а коэф а логарифмировался. Окончательно имеем:

36. Мнк для показат ф-и регрессии

Ф-я регр в данном случ рассм как эк-мат модель. у_х(с шапочкой)= ab^x.. Относ к нелин, однако, ее можно линеаризовать,т.е. привести к лин, исп МНК или соотв ф-лы для вычисл коэф a и b. Линеаризация осущ с пом логарифмирования.

Lny_x(с шап)=ln(ab^x)=lna+xlnb. Обозначим Lny_x(с шап)=Y( c шап), lna=А, lnb=В => Y(с шап)=A+Bx

Заменим

Окончательно имеем ,

,

47. интервальная прогнозная оценка результирующего знач по лин ур-ю регр.

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии при прогнозируемом значении фактора х* определяется ожидаемое значение результирующей переменной у_{хс шапочкой}(х*). Такой прогноз является точечным прогнозом, поскольку он прогнозирует точку на числовой оси:

у_{хс шапочкой}=а + Ьх*.

Вместе с тем точечный прогноз несет в себе ошибку, так как величина у_{хс шапочкой} (х*) является случайной. Поэтому точечный расчет результирующей переменной у_{хс шапочкой} (х*) должен быть дополнен интервальной оценкой прогнозируемого значения у_{хс шапочкой} (х*)

где у*=М (у /х=х*) - условное математическое ожидание результирующего показателя при значении фактора х = х* .

В математической статистике показано, что при выполнении последнего условия Гаусса-Маркова, а именно нормального распределения случайного отклонения е, статистика t = имеет t - распределение Стьюдента с к = п — 2 степенями свободы. Тогда т = , где t_{l a я}_₂ есть табличное значение t -распределения Стьюдента с п — 2 степенями свободы на уровне значимости α.