1) Правило распределения требований по очередям перед каналами обслуживания;

2) Ограничение на размер очередей или на время ожидания в них;

3) Наличие или отсутствие приоритета у требований, виды приоритетов и правила их применения.

В зависимости от правила распределения требований по каналам различают системы с полной доступностью или системы с ограниченной доступностью. В первом случае требование может быть обслужено в любом канале системы и очередь может быть одна на всю систему. Во втором случае определенные требования могут быть обслужены только соответствующими каналами и очередь формируется отдельно для каждой группы каналов одинаковой доступности или для каждого канала группы раздельно. Кроме того, может быть такая система, когда часть каналов имеет ограниченную доступность, а часть – полную доступность. Правила формирования очередей определяются назначением каналов и могут иметь различные варианты.

В зависимости от того, как ведут себя требования в очереди, различают:

системы без потерь (с ожиданием), когда требование найдя все обслуживающие каналы занятыми неограниченно ожидает начала обслуживания;

системы с ограниченными потерями (смешанные системы), когда пребывание требования в очереди ограничивается по времени (требование находится в очереди ограниченное время) или длиной очереди (при достижении очередью определенной величины вновь прибывающее требование покидает систему);

системы с потерями (без ожидания), когда требование найдя все доступные ему каналы обслуживающей системы занятыми, покидает ее.

В зависимости от правила отбора из очереди требований на обслуживание, системы массового обслуживания делятся на системы без приоритета требований и с приоритетами требований. В системе с приоритетами требований выбор требований из очереди на обслуживание отличается по каждому требованию или группам требований.

В системах без приоритета возможны следующие правила приема требований на обслуживание:

1) В порядке поступления в систему, то есть освободившийся аппарат принимает на обслуживание требование, поступившее ранее других;

2) Требование, поступившее последним, принимается на обслуживание первым;

3) Требования выбираются из очереди на обслуживание случайным образом (неупорядоченная очередь).

В системах с приоритетами требований различают относительный приоритет (без прерывания обслуживания), когда при поступлении требования с более высоким приоритетом оно принимается на обслуживание после окончания ранее начавшегося обслуживания требования с меньшим приоритетом, и абсолютный приоритет, когда канал освобождается немедленно для обслуживания поступившего требования с более высоким приоритетом.

Шкала приоритета может быть построена исходя из каких-то внешних относительно системы обслуживания критериев или на показателях, связанных с работой самой системы обслуживания. Практическое значение имеют следующие типы приоритетов:

разделение входящих требований по категориям приоритетности в зависимости от их источников;

приоритет у требований с наименьшим временем обслуживания. Эффективность данного приоритета может быть показана на следующем примере. Поступили последовательно два требования с длительностью обслуживания соответственно 6,0 и 1,0 ч. При приеме их на обслуживание освободившимся каналом в порядке поступления простой составит для 1-го требования 6,0 ч и для второго 6,0+1,0 = 7,0 ч или суммарно для двух требований 13,0 ч. Если дать приоритет второму требованию и его принять на обслуживание первым, то его простой составит 1,0 ч и простой другого– 1,0+6,0 = 7,0 ч или суммарно для двух требований 8,0 ч. Выигрыш от назначенного приоритета составит 5,0ч (13-8) сокращения простоев требований в системе;

приоритет у требований с минимальным отношением времени обслуживания к мощности (производительности) источника требования, например, к грузоподъемности автомобиля.

Механизм обслуживания характеризуется параметрами отдельных каналов обслуживания, пропускной способностью системы в целом и другими данными об обслуживании требований. Пропускная способность системы определяется числом каналов (аппаратов) и производительностью каждого из них.

Производительность каждого отдельного канала (аппарата) определяется длительностью обслуживания одного требования или интенсивностью потока обслуженных требований – средними значениями и законом распределения.

В зависимости от организации работы механизма обслуживания системы могут следующих разновидностей:

одноканальные (система состоит из одного канала) или многоканальные (система состоит из двух и более параллельных каналов), в том числе с постоянным или переменным числом каналов;

однофазные, когда полный цикл обслуживания производится одним аппаратом или многофазные, когда обслуживание производится в последовательных аппаратах и соответственно в канале может находиться несколько требований. Очередь требований перед каждым аппаратом может не разрешаться или ограничиваться;

с обслуживанием в аппаратах одиночных или групп требований;

со специальными комбинациями параллельных и последовательных каналов и аппаратов (сети СМО);

с каналами или аппаратами обслуживания, имеющими одинаковые или различные средние значения и законы распределения времени обслуживания;

с приоритетом отдельных параллельных каналов и без приоритета. В системах без приоритета возможна очередность загрузки каналов по различным правилам: первым освободился – первым загружается; последним освободился – первым загружается (например, при длительной подготовке к возобновлению обслуживания); в случайном порядке, когда требование выбирает канал случайным образом из-за большого числа влиящих факторов. Приоритетность может отдаваться более производительным каналам и по другим соображениям. Требования могут выбирать канал обслуживания;

с объединением каналов для обслуживания одного требования (взаимопомощь каналов) или раздельное обслуживание (отсутствие взаимопомощи).

Системы массового обслуживания могут быть исследованы аналитическими методами или на основе имитационного статистического моделирования. Аналитические зависимости имеются для определения параметров функционирования СМО в наиболее простых случаях, например, при простейшем потоке требований на обслуживание, экспоненциальном законе распределения длительности обслуживания, отсутствии приоритета требований и каналов друг перед другом и т.п.

Для сложных систем (сетей) отсутствуют аналитические зависимости и параметры их работы определяются на основе моделирования.

Основными параметрами функционирования системы массового обслуживания являются: вероятность того, что все каналы свободны p_o; вероятность p_k того, что в системе находится ровно k-требований; вероятность p_з того, что все каналы заняты; вероятность p(t_ож<t_з) того, что время пребывания требования в очереди (t_ож) не превысит заданной величины t_з; среднее время ожидания требованием начала обслуживания t_ожт; среднее время простоя каналов в ожидании требований на обслуживание t_ожк; средняя длина очереди M_ож; среднее время нахождения требования в системе t_c; среднее число требований в системе M_c; среднее число простаивающих каналов n_o; среднее число занятых каналов n_з; среднее число требований, простаивающих на обслуживании М_обс; коэффициент простоя каналов К_п = n_о / n; коэффициент занятости каналов К_з = n_з / n, где n – общее число каналов.

Между отдельными параметрами функционирования систем массового обслуживания существует связь:

;

;

;

;

;

;

( – средняя продолжительность обслуживанияч в канале) и др.

Расчет эмпирической функции распределения случайной величины и построение ее графика

Одним из возможных алгоритмов расчета характеристик эмпирического распределения непрерывной случайной величины является следующий:

а) по результатам наблюдения (замеров) необходимо получить заданное число n значений исследуемого параметра для процесса, явления, предмета;

б) составить интервальные статистические ряды распределения частот и частостей полученных значений случайной величины:

1) найти в выборке минимальное Х_мin и максимальное Х_мах значения случайной величины и размах варьирования Х_р=Х_мах-Х_мin;

2) определить число интервалов N разбиения случайной величины

N_п = 1 + int(3.32 lg n);

N= max (N_п; 5),

где n – размер выборки случайной величины;

3) рассчитать длину интервала h

h = Х_р / N ;

4) определить границы Х_j (верхнюю), Х_j-1 (нижнюю) и середину Х_сj каждого j-го интервала распределения случайной величины ( )

X_j = X_мin + j h ; X_j-1 = X_мin + (j-1) h;

X_сj = (X_j-1 + X_j)/2 .

5) подсчитать число попаданий случайной величины в каждый j-й интервал (частоты М_j), для чего пересмотреть все числа x_i ( ) относительно границ интервалов

М_j = М _j + 1 , если X _j-1  x_i < X _j при ;

М_j = М _j + 1 , если X _j-1  x_i  X _j при j = N;

6) определить частости (эмпирические вероятности) p_эj попадания значений случайной величины в каждый из интервалов путем деления соответствующих частот на объем выборки n, т.е. p_{эj =} М_j / n. Сумма всех частот равна объему выборки

,

а сумма частостей p_эj соответственно равна единице.

7) представить интервальные статистические ряды в виде массивов

Номер интервала, j	1	2		N
Нижняя граница Xj-1	X0	X1		XN-1
Верхняя граница Xj	X1	X2		XN
Середина интервала Xсj	Xс1	Xс2		XcN
Частоты Mj	M1	M2		MN
Частости pэj	pэ1	pэ2		pэN

в) Построить гистограмму или полигон эмпирического распределения

Для построения гистограммы по оси х откладывают границы интервалов значений случайной величины и для каждого из интервалов строится прямоугольник, высота которого равна частному от деления частости данного интервала на величину интервала: f_эj= p_эj/h, где f_эj – эмпирическая функция плотности вероятности. Полигон строится также по значениям f_эj, но на серединах интервалов в виде ломаной линии (рисунок 2.10).

1

0.25

f_эj

0.15

0.10 2

0.05

X_мin X_max х

X₀ X₁ X₂ X_j (j=N)

Рисунок 2.10 – Гистограмма (1) и полигон (2) эмпирического распределения (пример)

г) определить значения эмпирической функции распределения и построить ее график

(рисунок 2.11). При этом ( j=0).

д) Определить числовые характеристики выборки: начальные _k и центральные статистические _ck моменты k -го порядка и рассчитываемые через них параметры – оценки математического ожидания x_m, выборочной дисперсии s², среднеквадратического (стандартного) отклонения s, коэффициентов вариации V и сдвинутого (смещенного) распределения V_c, коэффициентов асимметрии A и эксцесса E

;

;

;

1.0

F_э

0.6

0.4

0.2

X_min X_max x

X₀ X₁ X₂ X_J (j=N)

Рисунок 2.11 – График эмпирической функции распределения (пример)

или или ;

;

V= s / x_м ;

V_c= s /( x_м - x_c );

;

.

Поправочные коэффициенты k_с, k_а и k_е служат для получения несмещенной оценки параметров и определяются по формулам:

k_с = n / (n-1);

k_а = n² / ( n ² - 3 n + 2 );

k_е ≈ 1.

Приоритеты требований в системах массового обслуживания

В зависимости от правила отбора из очереди требований на обслуживание, системы массового обслуживания делятся на системы без приоритета требований и с приоритетами требований. В системе с приоритетами требований выбор требований из очереди на обслуживание отличается по каждому требованию или группам требований.

В системах без приоритета возможны следующие правила приема требований на обслуживание: