2) Находятся все звенья, для которых начальным пунктам I присвоены потенциалы VI, а конечным пунктам j не присвоены. Если таких звеньев нет, то решение закончено (на п.5), а иначе на следующий п.3.

3) Для найденных звеньев по п.2 рассчитываются значения потенциалов конечных пунктов j по следующей формуле:

u_j(i) = v_i + l_ij ,

где u_{j(i) –} потенциал конечного пункта j звена i-j; l_ij – длина звена i-j.

Из всех полученных потенциалов выбирается потенциал с наименьшим значением, т.е. определяется:

,

где { u_j(i) } – множество значений потенциалов конечных пунктов j звеньев i-j, i-м начальным пунктам которых ранее присвоены потенциалы; u_r(s) – потенциал конечного пункта r звена s-r , являющийся наименьшим по значению элементом множества { u_j(i) }.

Потенциал u_r(s) присваивается соответствующему конечному пункту (v_s = u_r(s)), а звено r-s отмечается стрелкой.

В случае если несколько значений потенциалов множества {v_j(i)} окажутся равными и наименьшими, то необходимо установить, относятся они к одному и тому же пункту или нет.

Если наименьшие равные значения потенциалов относятся к различным пунктам (у потенциалов не совпадают цифровые индексы без скобок), эти значения потенциалов присваиваются всем соответствующим конечным пунктам и стрелками отмечаются соответствующие звенья.

Если наименьшие равные значения потенциалов относятся к одному и тому же конечному пункту r (у потенциалов совпадают цифровые индексы без скобок), то пункту r присваивается это наименьшее значение потенциала и отмечается стрелкой то звено s-r, которому соответствует потенциал u_r(s) с большим удельным весом в его составе длин звеньев с лучшими условиями перемещения. При одинаковых дорожных условиях кратчайшее расстояние в этом случае реализуется по одному (любому) из звеньев s-r.

4) переход на п. 2

5) формируется окончательное решение. Величина потенциалов у вершин показывает кратчайшие расстояния от выбранного начального пункта до каждой вершины, а звенья с входящими друг в друга стрелками образуют кратчайший путь движения от интересующего пункта до исходного. Если два пункта сети соединены таким путем, то кратчайшее расстояние между ними равно разности их потенциалов.

Выбор переменной для вывода из базиса при решении задачи линейного программирования симплекс-методом

Основные шаги решения задачи (после представления исходной системы в стандартном виде):

11. формируется первоначальное базисное решение;

12. выражается Z через небазисные переменные;

13. проверяется базисное решение на оптимальность. Если оптимально, то на п.10;

14. проверяется задача на наличие решения. Если решения нет, то выход;

15. выбирается из небазисных переменных та, которая способна при введении ее в базис в большей степени улучшить значение целевой функции, и вводится в базис;

16. определяется базисная переменная, которая выводится из базиса;

17. алгебраически выражается вводимая в базис переменная через переменную, выводимую из базиса и другие небазисные переменные;

18. алгебраически выражаются другие базисные переменные через небазисные;

19. переход на п. 2;

20. определяются значения базисных переменных. Они являются решением задачи.

Итерационный процесс (шаги 2–9) повторяются до тех пор, пока не произойдет выход на шаге 3 или 4. Алгоритм реализации отдельных шагов при решении задачи на максимум и ограничениях типа  следующий:

Шаг 1 состоит в назначении базисных переменных по числу ограничений в задаче. Базисные переменные x_u выражаются через небазисные x_p из равенств, в которые они входят через значимые коэффициенты. При этом небазисные переменные принимаются нулевыми. На первом шаге в качестве базисных принимаются дополнительные переменные, а в качестве небазисных – основные, т.е. и . Тогда первое базисное решение

x_m+1 = b₁;

x_m+2 = b₂;

. . .

x_M = b_n;

x₁ = 0;

x₂ = 0;

. . .

x_m = 0.

Шаг 2 – алгебраически выражается целевая функция Z через небазисные переменные

.

Шаг 3 – проверяется все ли с_p≤0. Если да, то решение оптимально.

Шаг 4 – оценка наличия решения. Если при х_p, имеющем с_p >0, во всех уравнениях a_pj<0 (j =1, 2, ..., n), то решение отсутствует (выход из программы с соответствующим сообщением).

Шаг 5 – определяется та небазисная переменная, которую наиболее целесообразно ввести в базис, по максимуму положительного коэффициента в текущем выражении для целевой функции , где s– номер переменной, вводимой в базис.

Шаг 6 – определяется одна из базисных переменных для вывода ее из базиса. Для этого во всех j-х равенствах для х_s вычисляется отношение свободного члена b_j к соответствующему коэффициенту a_sj (a_sj >0), т.е. b_j/a_sj. Минимальное из отношений указывает на j-е равенство и соответственно на выводимую переменную из базиса.

Шаг 10 – формируется окончательное решение в виде численных значений искомых переменных, которые входят в базис. Вычисляются из последних выражений для них при значениях небазисных переменных, равных нулю. С практической точки зрения определение численных значений базисных переменных, которые являются дополнительными, не требуется. Основные переменные, которые не входят в базис, равны нулю.

Оптимизация при наличии ограничений. Метод штрафных функций

Задача с ограничениями может быть сведена к задаче без ограничений с помощью штрафных функций. Идея внутренних штрафных функций состоит в преобразовании целевой функции Z = f(X)= min и ограничений  _j (X) > 0 ( ) в функцию вида

Z_ш = f(X) + P_ш =min; ;

=min,

где r – положительная малая величина; P_ш – дополнительная штрафная функция.

Если значения Х близкие или равные ограничению, то происходит резкое изменение (увеличение) функции Z_ш (образуется "гребень" с крутыми краями). Графическая интерпретация приведена ниже на рисунке 3.18.

2 1

Z_ш

3

x

Рисунок 3.18 – Графическая интепретация метода штрафных функций:

1 – линия ограничения; 2 – функция Z_ш при большем значении r; 3 – функция Z_ш при меньшем значении r

Значения r принимаются малыми, чтобы влияние штрафной функции P_ш было меньшим в точке оптимума. При меньших значениях r хуже сходимость, при больших значениях – ниже точность решения. Поэтому r необходимо изменять в ходе оптимизации.

Существует метод внешних штрафных функций, когда штрафуется удаление от допускаемой области.

Оптимизация при наличии ограничений. Метод Лагранжа

В отличие от безусловной оптимизации в данном случае установлены ограничения в виде равенств и (или) неравенств в зависимости от X.

В этом случае задача состоит в поиске экстремума функции

, X = {x_i},

при выполнении ограничений вида

O_j =  _j(X ) <= >b_j, .

Аналитическое решение задачи при ограничениях типа равенства и дифференцируемости оптимизируемой функции возможно по методу Лагранжа. Для этого вводятся множители Лагранжа _j и с их применением формируется функция L по выражению:

,

где  _j(X )=0.

Оптимальные значения вектора X определяются системой m+n уравнений:

 m – уравнений

 n – уравнений

ПРИМЕР.

Z = 0.5 (x₂ - x₁) ² + (1 - x₁)² = min

x₁ + x₂ = 4 или

x₁ + x₂ - 4 = 0

L = 0.5 (x₂ - x₁)² + (1 - x₁)² -  (x₁ + x₂ - 4) = 0

= 0.50 ^. 2 ^. (x₂ - x₁) (-1) + 2 ^. (1-x₁) (-1) -  = 0

= 0.50 ^. 2 ^. (x₂ - x₁) -  = 0

= -( x₁ + x₂ - 4) = 0

Решение системы уравнений дает следующее решение:

x₁ = 1.67 ; x₂ = 2.33 и  = 0.67.

Без учета ограничений аналитический метод дает решение в точке x₁ = 1.0 ; x₂ = 1.0.

Графическое представление полученных решений приведено на рисунке 3.16.

В случае, если ограничения имеют вид неравенств, необходимые условия нахождения экстремума (минимума) функции f(X) при ограничениях  _j (X)  b_j следующие:

ограничения в виде неравенств преобразуются в ограничения в виде равенств путем добавления дополнительных (ослабляющих) переменных к виду:

;

формируется функция L с применением множителей Лагранжа

;

и система уравнений, решение которой определяет точку оптимума

 m – уравнений

 n – уравнений

 n – уравнений.

Методы решения задачи одномерной безусловной оптимизации