29. Асимптоты графика функции.

В некоторых случаях, когда график ф-ии имеет бесконечные ветви, оказывается, что при удалении точки вдоль ветви к бесконечности, она неограниченно стремится к некоторой прямой. Такие прямые называют асимптотами.

Вертикальные асимптоты – прямая называется вертикальной асимптотой графика ф-ии в точке b , если хотя бы один из разносторонних пределов равен бесконечности.

Если ф-ия задана дробно-рациональным выражением, то вертикальная асимптота появляется в тех точках, когда знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю.

********************

Наклонная асимптота – прямая наклонная асимптота ф-ии , если эта ф-ия представлена в виде

Необходимый и достаточный признак существования наклонной асимптоты:

Для существования наклонной асимптоты к графику ф-ии необходимо и достаточно существование конечных пределов:

Доказательство: Пусть:

Пусть:

Следовательно существует асимптота.

1.(C)ꞌ=0, C=const	9.(arcsinx)ꞌ=1/
2.(xα)ꞌ=αxα-1	10.(arccosx)ꞌ=-1/
3.(ax)ꞌ=axlna (ex)ꞌ=ex	11.(arctgx)ꞌ=1/1+x2
4.( )ꞌ=1/xlna (lnx)ꞌ=1/x	12.(arcctgx)ꞌ=-1/1+x2
5.(sinx)ꞌ=cos x	13.(1/x)ꞌ=-1/x2
6.(cosx)ꞌ=-sin x	14.(1/f(x))ꞌ=-f ꞌ(x)/(f(x))2
7.(tgx)ꞌ=1/cos2x	15.( )ꞌ=1/2
8.(ctgx)ꞌ=-1/sin2x