8. Предел функции по Гейне. Односторонние пределы (по Гейне).

Число A называется пределом функции f(x) в точке x₀, если для любой последовательности {x_n} значений аргумента, отличных от х₀ и сходящ.к х₀ , соответствующая последовательность функции {f(x_n)} сходятся к числу а.

Символически это записывается так:

lim(x->x₀)f(x)=а xn}, x_{n ,} x_n x_0, lim x_n(n->∞)= x₀ limf(x_n->∞)(n=a.Из этого определения следует, что функция в данной точке может иметь лишь одно значение предела.Пределы слева и справа функции называют односторонними.

Правый(левый) предел функции:число а называется пределом ф-ции справа(слева),если{x_n}, x_n€X, x_n>x₀(x_n<x₀), lim x_n(n>∞)=x₀ lim(n->∞)f(x_n)=a.

Предел при х :

а -пределом функции f(x) при х ,если ББП {x_n} значений аргумента,пос-ть {f(x_n)} соответствующих значений функции сходится к а.

Символически это записывается так:

lim f(x)(x )=a ББП{x_n}, x_{n ,} lim f(x_n)(n )=a.

Предел при х : lim f(x)(x )=a ББП{x_n}, x_n и х_n>0_, lim f(x_n)(n )=a.

Предел при х :

lim f(x)(x )=a ББП{x_n}, x_n и х_n<0_, lim f(x_n)(n )=a.

9.Предел функции по Коши. Односторонние пределы (по Коши).

Число а называется пределом функции f(x) в точке x₀, если для любого сколь угодно малого числа Ɛ найдёётся такое число δ , что для всех x€Х и удовлетворяющих неравенству 0<| x – x₀ | < δ, выполняется неравенство | f(x) –а| < Ɛ.

Символьно:

lim(x->x₀)f(x)=aƐ>0, Ǝ δ= δ(Ɛ)>0, x€X, 0<|x-x₀|< δ=>|f(x)-a|<Ɛ.

Пределы слева и справа функции называют односторонними.

Правый(левый) предел функции:

а называется пределом функции f(x) точки x₀ справа(слева), если

Ɛ>0, Ǝ δ= δ(Ɛ)>0, x€X, 0<x-x₀< δ-правый=>|f(x)-a|<Ɛ

- δ <x-x₀< 0 -левый=>|f(x)-a|<Ɛ

Предел при х :

а называется пределом функции f(x) при х ,если Ɛ>0, Ǝ δ>0, x€X, |x|>δ=>|f(x)-a|<Ɛ

Предел при х :

lim f(x)(x )=aƐ>0, Ǝ δ>0, x€X, x>δ=>|f(x)-a|<Ɛ

Предел при х :

lim f(x)(x )=aƐ>0, Ǝ δ>0, x€X, x<-δ=>|f(x)-a|<Ɛ

10. Основные теоремы о пределах функции.

Т1. y=f(x) может иметь только один предел в точке x_0.

lim(x->x₀)f(x)=a

=>a=b

lim(x->x₀)g(x)=b

T2. Если функция имеет предел в точке x_0, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Опр. Функция у=f(x) называется ограниченной на мн-ве Х, если существует такое положительное число М, что для всех х из мн-ва Х ,|f(x)|≤М. Символьно: Ǝ М>0,  x€X, |f(x)|≤M.

Т3. Пусть lim(x->x₀)f(x)=a, lim(x->x₀)g(x)=b, тогда lim(x->x₀) f(x)±g(x)=a±b; lim(x->x₀)f(x)*g(x)=ab; lim(x->x₀) f(x)/g(x)=a/b(b≠0).

Замечание: на самом деле для любой элементарной функции y=f(x), lim(x->x₀)f(x)=f(x₀).

Т4. Пусть lim(x->x₀)f(x)=a, lim(x->x₀)g(x)=b;

Ǝ Ɣδ (x₀), x€ Ɣδ(x₀), f(x)≤g(x)=>a≤b.

Т5. Пусть существует Ɣδ (x₀), x€ Ɣδ(x₀), f(x)≤φ(x)≤g(x); и lim(x->x₀)f(x)= lim(x->x₀)g(x)=a=> lim(x->x₀)φ(x)=a.

1-й замечательный предел: ,

2-й замечательный предел: