4. Основные свойства бесконечно малых последовательностей. Связь между бмп и ббп.

Св-ва:

1. БМП явл ограниченной.

2. Сумма двух БМП есть БМП. Следствие: сумма любого конечного числа БМП есть БМП.

3. Произведение БМП на огр-ю посл-ть есть БМП.

4. Произведение двух БМП есть БМП.

5. Если все члены БМП равны одному и тому же числу С, то С=0.

6. (Связь бмп и ббп):

1. {а_n} БМП,  n N, а_n≠0=>{1/а_n}-ББП

2. {А_n} ББП,  n N, а_n≠0=>{1/А_n}-БМП

5.Предел последовательности.

Определение 1. Число a называется пределом последовательности {а_n}, если найдётся такой номер N завис.от , что N выполняется неравенство: |а_n- a|< ε.

Символьно-(lim_(n->∞) а_n=aƐ>0,  N=N(Ɛ),  n≥N=>|а_n-a|<Ɛ ).

Геометрический смысл определения предела: число а называется пределом последовательности {а_n}, если окрестности точки х содержат все члены последовательности, начиная с некоторого номера N.

Определение 2. Последовательность наз-ся сходящейся, если она имеет предел:{аn-а}-БМП; ;an=a+ lim(n )аn=a

 an=a+ n

Замечание: 1. Конечное число членов посл-ти не влияет на её сходимость и значение предела.

2. Последовательность, которая не явл сходящейся, называется расходящейся.

3. если последовательность-ББП, то пишут, что её предел(n )равен бесконечности. а_n>0 =+∞; а_n<0 =-∞

6.Свойства сходящихся последовательностей.

1.Сход.Посл-ть имеет только один предел

Если посл-ть x_n сходится, то она имеет единственный предел. Док-во (от противного){x_n} имеет два разл. Предела a и b, аb. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти x_n за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиуса = (b-a)/2, т.к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие. теор. док-на.

2. Сход.Посл-ть явл ограниченной

Пусть посл-ть {x_n}а  >о N:n>Nx_n-a< эквивалентна а-<x_n<a+ n>N => что каждый из членов посл-ти удовлетворяет неравенствуx_n c = max {a-,a+,x_n,…,x_n-1}

3.Арифметические действия

Пусть посл-ть {x_n}a,{y_n}b тогда арифметические операции с этими посл-тями приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем:

а) lim(n)(x_ny_n)=ab

б) lim(n)(x_ny_n)=ab

в) lim(n)(x_n/y_n)=a/b, b0

Док-во: а)x_ny_n=(а+n)(b+_n)=(ab)+(_n_n) Правая часть полученная в разности представляет сумму числа a+b б/м посл-тью, поэтому стоящая в левой части xn+yn имеет предел равный ab. Аналогично др. св-ва.

б) xnyn=(а+_n)(b+_n)=ab+_nb+a_n+_n_n

_nb – это произведение const на б/м

а_n0, _n_n0, как произведение б/м.

=> поэтому в правой части стоит сумма числа аb+ б/м посл-ть. По т-ме О связи сходящихся посл-тей в б/м посл-ти в правой части xy_n сводится к ab.

4.если предел lim_(n->∞)a_n=a и  n, a_n≤b=>a≤b.

5. пусть lim_(n->∞)a_n= lim_(n->∞)b_n=a

 n принадл.N, a_n≤C_n≤b_n=>lim_(n->∞)C_n=a.

7. Монотонные последовательности. Число е.

Последовательность {х_n} называется возрастающей, если x_n+1 хnдля всех n; неубывающей — если x_n+1 x_n для всех n; убывающей — если x_n+1 x_n для всех n; невозрастающей — если x_n+1 x_n для всех n.

Все такие последовательности объединяются одним общим названием: монотонные последовательности. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны: неубывающие последовательности — снизу (x_n > x₁ для всех _n), невозрастающие — сверху (x_n < x₁ для всех n).

Т. Если неубыв.посл-ть {x_n}(невозвр.)ограничена сверху(снизу), то она сходится.

Следствие: для того, чтобы мон.посл. сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной.

Число е

Рассмотрим числ. посл-ть с общим членом x_n=(1+1/n)^n (в степени n)(1) . Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и сл-но явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и обозначается символом е2,7128…

Док-ем формулу lim(n->∞)(1+1/n)^n(в степени n)=е

y_N= ; z_N=y_N +

1) y_N монотонно растет

2) y_N<z_N

3) z_N-y_N0

4) z_N монотонно убывает

Доказателство:

z_N-z_N+1 = y_N + - y_N+1 - = + - =

2=y₁<y_N<z_N<z₁=3

e = Lim y_N = Lim z_N - по лемме о вложенных промежутках имеем: y_N<e<z_N = y_N + 1/(n*n!)

Если через _ обозначить отношение разности e - y_N к числу 1/(n*n!), то можно записать e - y_N =_/(n*n!), заменяя y_N его развернутым выражением получаем e = y_N + _/(n*n!), (0,1)

Число e иррационально:

Доказательство(от противного): Пусть e=m/n, mZ, nN

m/n = e = y_N + _/(n*n!)

m*(n-1)!= y_N*n! + _/n, где (m*(n-1)! & y_N*n!)Z, (_/n)Z => противоречие