1.Множества. Операции над множествами.

Мн-во – совокупность объектов одной природы.(множество N, Z, Q, R чисел).

Элементы-объекты ,которые в совей совокупности образуют множество.

Пересечением двух мн-в А и В н-ся мн-во С, состоящее из Эл-ов, принадлежащих как мн-ву А, так и мн-ву В.(А={1,2,3}, B={2,5}, AΩB={2}) Объединением двух мн-в А и В н-ся мн-во С, состоящее из Эл-ов, принадлежащих хотя бы одному из мн-в А или В.(A={1,2,3}, B={2,5} AuB={1,2,3,5}.

Разностью С двух мн-в А и В н-ся мн-во, состоящ. Из Эл-ов мн-ва А и не принадл. В(Разностью мн-ва целых чисел и мн-ва четных чисел явл. Мн-во нечетных чисел) .

Свойства операций над множествами:

1. А U B=B U A-коммутативность

2. A U(B U C)=(A U B) U C- ассоциативность

3. A ∩ B=B ∩ A

4. A ∩ (B ∩ C)=(A ∩ B) ∩ C

5. (A U B) ∩C=(A ∩ C)U(B ∩ C)-дистрибутивность

6. (A ∩ B)UC=(A U C)∩ (B U C)

7. A явл.подмножеством B=>AUB=B, A∩B=A.закон поглощения

8. A U дополнение А=Е, А∩ дополнение А=пустое множество.

9. Дополнение пустого мн-ва=Е, дополнение Е=пустое мн-во.

10. Дополнение к(АUB)=дополнение к А∩ дополнение к В.

11. Дополнение к (A ∩B)=дополнение к А U дополнение к В.

2. Взаимно-однозначное соответствие. Счетные и несчетные множества.

Отображение А в В называется правило, по которому каждому эл-ту х из А ставится в соответствие строго один элемент у из В.

Если мн-ва А и В числовые, то отображение на-т функцией.

Типы: 1.сюрьективное(если образ мн-ва А совпадет с мн-вом образа В)

2.иньективное(если равенство (x₁не равно х_2,f(х₁)не равно f(x₂)

3.биективное или взаимно-однозначное, если оно явл и сюрьективным и инъективным(каждому эл-ту одного множества соотв. Ровно один эл-нт другого мн-ва).

А и В наз-ся эквивалентными или равномощными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие. А~В.

Св-ва:

1.А(с волной) ~ А-рефлексивность.

2.А~В=>B~A-симметричность.

3.A~B, B~C=>A~C.

Мн-во счётное, если оно ~(эквивалентно)мн-ву натуральных чисел.

Мн-во всех подмножеств множества Nчисел явл несчётным.

Числовое мн-во А назыв. Ограниченным,если такое число ,что данного мн-ва справедливо неравенство |а|

(огран сверху: а

Верхняя грань-наименьшая верхняя граница мн-ва А-supA= .

Нижняя грань-наибольшая из нижних границ мн-ва А infА= .

ԑ-окрестность точки а-мн-во числовых значений х (а-ԑ;а+ԑ).

Открытое мн-во-мн-во,каждая точка которого входит в него вместе с некоторой ԑ-окрестностью.

Замкнутое мн-во-если содержит все свои предельные точки:[1;3].

Т.а-предельная т.мн-ва А-если в любой её окрестности содержится бесконечно много элементов мн-ва А.

3.БМП и ББП.

Определение 1. Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1, 2, 3, …, n поставлено в соответствие единственное число аn ,то говорят что задана числовая последовательность .

Числа а1, а2, а3, …, аn называются элементами (или членами) последовательности (1), символ аn — общим элементом последовательности, а число n — его номером. Сокращенно последовательность (1) обозначается символом {а_n}.

Определение 2. Последовательность {а_n} называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M (число m), что любой элемент аn этой последовательности удовлетворяет неравенству а_n < M (а_n > m).

Определение 3. Последовательность {а_n} называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т. е. существуют числа m и M такие, что любой элемент аn этой последовательности удовлетворяет неравенству m < аn < M.

Определение 4. Последовательность {а_n} называется неограниченной, если для любого положительного числа М существует элемент xn этой последовательности, удовлетворяющий неравенству | а_n | > М(т. е. а_n >М, либо а_n < –М).

Определение 5. Последовательность {а_n} называется ББПдля любого(сколь угодно большого) положительного числа А найдётся номер N, зависящий от числа А, такой что n N, выполняется неравенство |а_n|>A.

(ББПA>0, N=N(A), n≥N=>|а_n|>A).

Определение 6. Последовательность {а_n} называется БМПдля любого(сколь угодно малого)положительного числа Ɛ найдётся такой номер N, зависящий от Ɛ, что n≥N выполняется неравенство |а_n|<Ɛ.

(БМПƐ>0, N=N( ) n≥N =>|а_n|<Ɛ).