Расчет оценочных параметров (для незагруженных связей!)

Затем для незагруженных связей (пустых клеток, где нет поставок) рассчитываем оценочные параметры, или критерии оптимальности, по формуле:

U_ij=C_ij-U_i-U_j

и записываем их значения в левом верхнем углу каждой пустой клетки, как это показано в выше нарисованной таблице:

U₁₂ = C₁₂ - U_i=1 - U_j=2 = 8-0-5=3

U₁₃ = C₁₃ - U_i=1 - U_j=3 = 8-0-7=1

U₂₁ = C₂₁ - U_i=2 - U_j=1 = 11-7-3=1

U₂₂ = C₂₂ - U_i=2 - U_j=2 = 9-5-3=1

U₂₄ = C₂₄ - U_i=2 - U_j=4 = 8-6-3= -1 связь А₂В₄ потенциальна (U_ij<0)!

U₃₁ = C₃₁ - U_i=3 - U_j=1 = 7-1-7= -1 связь А₃В₁ потенциальна (U_ij<0)!

U₃₃ = C₃₃ - U_i=3 - U_j=3 = 8-1-7=0

U₄₂ = C₄₂ - U_i=4 - U_j=2 = 11-4-5=2

U₄₄ = C₄₄ - U_i=4 - U_j=4 = 11-4-6=1.

Поскольку в первоначальном базисном плане имеются связи, где U_ij<0, план считается неоптимальным.

Перераспределение поставок (по правилу контура)

Если план не является оптимальным, необходимо сделать перераспределение поставок в потенциальные клетки (где U_ij<0) по правилу контура.

Примечание: если имеется несколько потенциальных связей, где U_ij<0, в первую очередь следует перераспределить поставку в клетку с наименьшим отрицательным значением U_ij как в наиболее потенциальную.

Перераспределение поставок в потенциальные клетки осуществляется по т.н. правилу "контура", которое позволяет сохранять баланс по строкам и столбцам: когда из одной клетки строки какая-либо часть груза вычитается, то в другую клетку строки это значение прибавляется, аналогичное соблюдается и по столбцам.

Что является контуром и как его отыскать в плане? Контур представляет собой замкнутую фигуру, образованную прямыми отрезками, углы между которыми всегда равны 90⁰.

Отличительные особенности контура:

1) он состоит из четного количества вершин, которыми являются:

- загруженные поставками связи (нечетное количество);

- связь с отрицательным оценочным параметром (U_ij<0);

2) возможные варианты контуров:

- четырехугольные: B C

B C

A D A D

- шестиугольные:

B C C D

E D B E

A F A F

- восьмиугольные и т.д.

Итак, используя примеры возможных контуров, определим контур в данной задаче, учитывая что одной из его вершин является связь с отрицательным оценочным параметром, а остальные вершины - загруженные поставками связи. В данном базисном плане 2 связи с отрицательным оценочным параметром - A₂B₄ и A₂B₄ . В первую очередь должна рассматриваться связь с наименьшим оценочным параметром как наиболее потенциальная. Но в данном плане две потенциальные связи (A₃B₁ и A₂B₄), у которых оценочные параметры одинаковы. Они образуют два контура. Один из контуров - это четырехугольник, вершинами которого являются загруженные поставками связи A₁B₁, A₁B₄, A₃B₄ и связь с отрицательным оценочным параметром A₃B₁. Второй контур - это шестиугольник, вершинами которого являются загруженные поставками связи A₁B₁, A₁B₄, A₂B₃, A₄B₃, A₂B₁ и связь с отрицательным оценочным параметром A₂B₄. Для перераспределения поставок выбираем любой контур, например, второй.

Ai\Bj	B1		В2		В3		В4		Qi	Ui
		7	3	8	1	8		6
А 1	0						15		15	0
	1	11	1	9		10	-1	8
А2					25				25	3
	-1	7		6	0	8		7
А3			20				10		30	1
		11	2	11		11	1	11
А4 доп	10				5				15	4
Qj	10		20		30		25		85
Uj	7		5		7		6

Вынесем контур отдельно для того, чтобы произвести перераспределение поставок:

А1В1 0 15 А1В4 25 А2В3 А2В4 (Uij<0) А4В1 10 5 А4В3

Далее осуществляется перераспределение поставок по контуру: вершина с отрицательным значением оценочного параметра U_ij считается нечетной (в контуре она условно обозначается нулем - А₂В₄), рядом с ней ставится знак (+), следующая за ней вершина (по часовой стрелке или против нее) принимается четной, возле нее ставится знак (-), за четной вершиной следует нечетная и т.д. :

неч.+ 0 15 чет. - 25 чет - (0) неч.+ (Uij<0) чет.- 10 5 неч.+

Затем необходимо среди четных вершин выбрать вершину с минимальным значением объема поставки. Это значение следует вычесть из четных вершин (-) и прибавить к нечетным (+). В данном контуре:

Чет.min=10 (А₄В₁).

Это значение вычитаем из всех четных связей и прибавляем ко всем нечетным. В результате получится:

неч.+ 0+10=10 15-10=5 чет. - 25 -10=15 0+10=10 неч.+ (Uij<0) чет - чет.- 10-10=0 5+10=15 неч.+

Далее проверяем количество поставок: до перераспределения их было в контуре 5, значит, и после перераспределения должно остаться 5 (поэтому поставку, равную нулю (А₄В₁), из плана исключаем. Если бы оказалось несколько поставок, равных нулю, то следовало бы оставить такое их количество, при котором суммарное число поставок должно было равняться 5 и можно было бы на следующем этапе вычислить потенциалы U_i и U_j. При этом предпочтение должно отдаваться связям с наименьшими расстояниями.

Таким образом было осуществлено перераспределение поставок по контуру. С учетом этого перераспределения составим новый план закрепления постребителей за поставщиками:

Ai\Bj	B1		В2		В3		В4		Qi	Ui
		7		8		8		6
А1	10						5		15
		11		9		10		8
А2					15		10		25
		7		6		8		7
А3			20				10		30
		11		11		11		11
А4 доп					15				15
Qj	10		20		30		25		85
Uj

Далее новый план закрепления потребителей за поставщиками по аналогии проверяем на оптимальность по условию:

U_ij>=0

где U_ij - оценочный параметр или критерий оптимальности базисного плана.

Точно так же, как описывалось выше, рассчитываем потенциалы поставщиков и потребителей для загруженных связей и оценочные параметры для незагруженных связей:

Ai\Bj	B1		В2		В3		В4		Qi	Ui
		7	3	8	0	8		6
А1	10						5		15	0
	2	11	2	9		10		8
А 2					15		10		25	2
	-1	7		6	-1	8		7
А3			20				10		30	1
	1	11	3	11		11	2	11
А4 доп					15				15	3
Qj	10		20		30		25		85
Uj	7		5		8		6

Поскольку имеются связи, где U_ij<0, новый план закрепления потребителей за поставщиками снова признается неоптимальным:

U_ij<0: U₃₁= -1, U₃₃= -1.

Это говорит о том, что cледует еще раз произвести перераспределение поставок по контуру. Этот процесс будет осуществляться до тех пор, пока все оценочные параметры не станут положительными либо равными нулю: U_ij>=0.

Поскольку имеются две одинаково потенциальные связи с одинаковым оценочным параметром (U_ij= -1), то можно построить контур, начать рассматривать любую из них. Например, построим контур, отталкиваясь от связи А₃В₁. Она образует четырехугольный контур, вершинами которого являются загруженные поставками связи - А₁В₁, А₁В₄, А₃В₄ и связь с отрицательным оценочным параметром А₃В₁ (см. таблицу выше):

ч ет. - 10 5 неч. +

неч. + 0 10 чет. -

(U_ij<0)

Чет.min=10.

Это значение необходимо вычесть из всех четных клеток и прибавить ко всем нечетным:

чет. - 10-10=0 5+10=15 неч. +

неч. + 0+10=10 10-10=0 чет. -

••••••••••••••••••••••

Далее проверяем количество поставок: до перераспределения их было в контуре 3, значит, и после перераспределения должно остаться 3 (поэтому поставку, равную нулю (А₄В₁), из плана исключаем. Если бы оказалось несколько поставок, равных нулю, то следовало бы оставить такое их количество, при котором суммарное число поставок должно было равняться 5 и можно было бы на следующем этапе вычислить потенциалы U_i и U_j. При этом предпочтение должно отдаваться связям с наименьшими расстояниями.

В соответствии с перераспределением поставок по контуру составляем новый план закрепления потребителей за поставщиками:

Ai\Bj	B1		В2		В3		В4		Qi	Ui
		7	3	8	0	8		6
А1							15		15
		11	2	9		10		8
А2					15		10		25
		7		6	-1	8		7
А3	10		20		0				30
	1	11	3	11		11	2	11
А4 доп					15				15
Qj	10		20		30		25		85
Uj

Рассчитываем необходимое количество поставок по формуле:

N=m+n-1=4+4-1=7

В данной задаче количество поставок по количеству загруженных клеток:

N=8.

По этой причине одну из условных поставок, равных по объему нулю, следует исключить из плана, например, Q₁₁.

Далее новый план закрепления потребителей за поставщиками по аналогии проверяем на оптимальность по условию:

U_ij>=0

Точно так же, как описывалось выше, рассчитываем потенциалы поставщиков и потребителей для загруженных связей и оценочные параметры для незагруженных связей:

Ai\Bj	B1		В2		В3		В4		Qi	Ui
	0	7	2	8	0	8		6
А1							15		15	0
	2	11	1	9		10		8
А2					15		10		25	2
		7		6		8	1	7
А3	10		20		0				30	0
	1	11	2	11		11	2	11
А4доп					15				15	3
Qj	10		20		30		25		85
Uj	7		6		8		6

Полученный план закрепления потребителей за поставщиками оптимален, поскольку все оценочные параметры U_ij>=0.

6) В заключении после того, как план закрепления потребителей за поставщиками признан оптимальным, следует рассчитать оптимальные, т.е. минимальные затраты на перевозку грузов от потребителей до поставщиков по формуле:

Z = (C_ij•Q_ij),

где C_ij - расстояние от i-го поставщика до j-го потребителя;

Q_ij - объем поставки от i-го поставщика к j-му потребителю.

Иными словами, чтобы рассчитать минимальные затраты на перевозку, объем поставки по каждой загруженной клетке - Q_ij необходимо умножить на соответствующее расстояние C_ij, и просуммировать все полученные произведения для всех загруженных связей (см.последнюю таблицу):

Z=15•6 + 15•10 +10•8 + 10•7 +20•6 + 0•8 = 510 у.е.

Вывод: оптимальные затраты на перевозку грузов от потребителей к поставщикам - 510 у.е.