Пример решения задачи № 3

Найти кратчайшие расстояния от пункта А до всех остальных пунктов транспортной сети, используя метод потенциалов (см. Приложение 3-1).

По схеме транспортной сети (в результате измерения линейкой и задания масштаба 1см=1км) имеем следующие известные расстояния:

АВ=1 км; ВС=2 км; СD=3 км; DE=4 км; EF=5 км; FK=7 км; ВК=8 км; KD=

=9 км; AF=6 км.

Изначально потенциал пункта, относительно которого необходимо вычислить кратчайшие расстояния принимается равным нулю. В данной задаче это потенциал пункта А (или 1):

U₁=0.

Далее расчет осуществляется от начального пункта А. Пункт А (или 1) непосредственно соединен с двумя пунктами: F (или 6) и В (или 2). Поэтому можно вычислить потенциалы этих пунктов.

Согласно методу потенциалов существует формула для определения потенциала пункта:

U_{j(i) =}U_i+C_ij=U_i+L_ij, (3.1)

где i - номер пункта, относительно которого рассчитывается потенциал пункта j

и который непосредственно соединен с пунктом j транспортным звеном;

U_i - потенциал пунта i, относительно которого вычисляется потенциал пункта j;

C_ij = L_ij - стоимость перевозки от пункта i до пункта j, непосредственно

соединенных между собой транспортным звеном; она равна расстоянию

между этими пунктами.

Исходя из этой формулы, потенциалы 2-го и 6-го пунктов будут вычисляться следующим образом:

1) U₆₍₁₎₌U₁+C₁₆=0+6=6 км;

U₂₍₁₎=U₁+C₁₂=0+1=1 км.

Затем из этих полученных потенциалов необходимо выбрать наименьший (поскольку в ходе задачи определяется именно кратчайшие (т.е. минимальные) расстояния):

1) U₆₍₁₎₌U₁+C₁₆=0+6=6 км;

U₂₍₁₎₌U₁+C₁₂=0+1=1 км - min А → В.

Это означает, что кратчайший путь в пункт В проходит непосредственно от пункта А.

Как только какой-либо из потенциалов на каком-то из этапов оказывается минимальным (min), кратчайшее расстояние до этого пункта считается вычисленным, поэтому потенциал этого пункта относительно других пунктов больше в задаче не рассматривается. На рисунке транспортной сети возле номера этого пункта ставится знак треугольника и внутри треугольника - значение потенциала (оно равно кратчайшему расстоянию до этого пункта от пункта А). Строим вектор АВ (см.Приложение 3-1).

На основании выше сказанного, отныне потенциал пункта В (2) относительно какого-либо другого близлежащего пункта рассматриваться не будет, поскольку он уже рассчитан.

Далее на следующем этапе расчет потенциалов должен вестись от пункта 2 (т.е. по кратчайшей транспортной сети). При этом на следующем этапе необходимо обязательно учитывать потенциалы, рассчитанные на предыдущих этапах до тех пор, пока потенциалы этих пунктов не будут вычислены окончательно.

Иными словами, на втором этапе в первую очередь следует записать потенциал 6-го пункта U₆₍₁₎, т.к. окончательно он еще не рассчитан ни относительно 1-го, ни относительно каких-либо других пунктов.

2) U₆₍₁₎=6 км.

Затем следует рассчитать потенциалы пунктов, непосредственно связанных с пунктом 2 транспортными звеньями. Исходя из заданной транспортной сети, можно увидеть, что пункт 2 соединен непосредственно с двумя пунктами транспортными звеньями: с пунктом K (7) и C (3 ).

По формуле (3.1) для расчета потенциалов имеем:

2) U₆₍₁₎=6 км;

U₇₍₂₎=U₂+C₂₇=1+8=9 км;

U₃₍₂₎=U₂+C₂₃=1+2=3 км.

По аналогии с предыдущим этапом из трех потенциалов выбираем минимальный:

2) U₆₍₁₎=6 км;

U₇₍₂₎=U₂+C₂₇=1+8=9 км;

U₃₍₂₎=U₂+C₂₃=1+2=3 км min А → С (В).

Минимальным получился потенциал пункта С (3). Это означает, что кратчайший путь до пункта С от пункта А проходит через пункт В. На рисунке транспортной сети возле номера пункта 3 следует поставить знак треугольника, а внутри него записать значение потенциала (кратчайшее растояние до пункта С). Строим вектор ВС.

На следующем этапе, как уже отмечалось выше, необходимо учесть все потенциалы, вычисленные на предшествующих этапах, пока они не будут рассчитаны окончательно.

3) U₆₍₁₎=6 км;

U₇₍₂₎=9 км;

Далее расчет ведем от пункта 3 (по кратчайшей сети). С пунктом 3 непосредственно транспортным звеном связан только пунт D (4). Согласно формуле (3.1) потенциал этого пункта:

U₄₍₃₎=U₃+C₃₄=3+3=6 км.

Из трех потенциалов выбираем минимальный:

3) U₆₍₁₎=6 км min A → F

U₇₍₂₎=9 км;

U₄₍₃₎=U₃+C₃₄=3+3=6 км min A → D (C).

Т.е. от пункта А в пункт F можно добраться непосредственным прямым путем, а в пункт D кратчайший путь от пункта А проходит через пункт С. На рисунке транспортной сети возле пунктов 6 и 4 следует поставить знак треугольника, а внутри него записать значение потенциала (кратчайшее растояние до этих пунктов). Строим вектора АF и СD.

На 3-м этапе получилось два потенциала с наименьшим одинаковым значением. Это говорит о том, что на следующем этапе расчет будет вестись сразу от двух пунктов: F (6) и D (4).

На 4-м этапе необходимо учесть потенциалы, рассчитанные на предыдущих этапах, а расчет потенциалов вести от пунктов: F (6) и D (4) (по кратчайшим расстояниям). От пункта 6 отходит непосредственно два транспортных звена: в пункты К (7) и Е (5), и от пункта D отходит два транспортных звена: в пункты К (7) и Е (5). Исходя из выше сказанного, имеем:

U₇₍₆₎=U₆+C₂₇=6+7=13 км;

U₅₍₆₎=U₆+C₂₇=6+5=11 км;

U₇₍₄₎=U₄+C₂₇=6+9=15 км;

U₅₍₄₎=U₄+C₂₇=6+4=10 км.

С учетом потенциалов, рассчитанных на предыдущих этапах, имеем:

4) U₇₍₂₎=9 км;

U₇₍₆₎=13 км;

U₅₍₆₎=11 км;

U₇₍₄₎=15 км;

U₅₍₄₎=10 км.

Из пяти потенциалов, записанных на 4-м этапе решения задачи, выбираем минимальный:

4) U₇₍₂₎=9 км - min A → K (B)

U₇₍₆₎=13 км;

U₅₍₆₎=11 км;

U₇₍₄₎=15 км;

U₅₍₄₎=10 км.

Рассчитан наименьший потенциал 7-го пункта: кратчайший путь от пункта А до пункта К проходит через пункт В. Поэтому все остальные потенциалы 7-го пункта, вычисленные относительно других пунктов, автоматически исключаются из рассмотрения: U₇₍₆₎=13 км и U₇₍₄₎=15 км. На схеме транспортной сети возле пункта 7 следует поставить знак треугольника, а внутри него записать значение потенциала (кратчайшее растояние до пункта К). Строим вектор ВК.

На 5-м этапе поиск кратчайшего пути должен вестись от 7-го пункта, но от 7-го пункта непосредственно отходят транспортные звенья в пункты 6, 4 и 2, потенциалы которых уже рассчитаны. Поэтому на 5-м этапе следует из оставшихся потенциалов выбрать минимальный:

5) U₅₍₆₎=11 км;

U₅₍₄₎=10 км min A → E (D).

Таким образом, кратчайший путь от пункта А до пункта Е проходит через пункт D. На схеме транспортной сети возле пункта 5 следует поставить знак треугольника, а внутри него записать значение потенциала (кратчайшее растояние от пункта А до пункта Е). Строим вектор DE.

Затем необходимо определить кратчайшую связывающую сеть. Решение начинается со звена минимальной длины. Оно включается в маршрут, а потом рассматриваются все звенья, связанные одной из своих вершин с уже выбранной частью маршрута. Из них выбираются минимальные и включаются в маршрут. Этот процесс осуществляется до тех пор, пока все вершины не будут включены в кратчайшую связывающую сеть (см. Приложение 3-1, кратчайшая связывающая сеть обозначена жирной линией).

Вывод: с помощью метода потенциалов в ходе решения задачи были рассчитаны кратчайшие расстояния от пункта А до всех остальных пунктов транспортной сети.