Пример решения задачи № 2

Решить графическим методом задачу линейного программирования при ограничениях: Х₁+0,5Х₂<=3,5

0,4Х₁+Х₂<=1,5

и целевой функции Z=0,5Х₁+0,3Х₂=мах.

Краткое описание этапов решения задачи.

1) Необходимо построить две заданные прямые ограничений.

2) Эти прямые отсекают в положительной плоскости выпуклый четырехугольник АВСD. Следует определить координаты точек А, В, С и D.

3) Поскольку построенные прямые - это прямые ограничений, то они отсекают в положительной плоскости т.н. "запрещенную" область, т.е. область, не соответствующую заданным ограничениям. Эта область может находиться либо внутри выпуклого четырехугольника, либо снаружи его (и ни как иначе). О том, каким образом ее определить, будет рассказано в разделе "Подробное описание задачи".

4) Затем строится график целевой функции: Z=С₁•Х₁+С₂•Х₂=мах. Для построения графика следует приравнять С₁•Х₁+С₂•Х₂ к числу, кратному С₁ и С₂.

5) В результате получится линия, которую будет возможно перемещать параллельно себе (т.н. изолиния). Первая точка, которой коснется изолиния при ее приближении к четырехугольнику, и будет являться решением.

6) Графический способ решения задачи требуется подтвердить расчетным, при котором координаты каждой из вершин четырехугольника подставляются в уравнение целевой функции. Таким образом находятся значения целевой функции в каждой из точек: Z_A, Z_B, Z_C и Z_D. При решении задачи на максимум, как в данном примере, оптимум будет в той точке, в которой значение целевой функции максимально.

Подробное описание этапов решения задачи.

Этап 1) Необходимо построить две прямые ограничений. Для этого сначала следует левую часть уравнения приравнять к правой:

Х₁+0,5Х₂=3,5

0,4Х₁+Х₂=1,5

Затем нужно найти точки пересечения этих прямых с осями Х₁ и Х₂ и по двум точкам построить прямые. Для нахождения точек пересечения прямых с осями, следует поочередно приравнять к нулю Х₁, а потом Х₂.

Для первой прямой Х₁+0,5Х₂=3,5 имеем:

Х₁=0, Х₂=(3,5-Х₁)/0,5=(3,5-0)/0,5=7.

Х₂=0, Х₁=(3,5-0,5Х₂)/1=3,5-0,5•0=3,5.

По двум точкам можно построить одну из прямых ограничений (см.Приложение 2-1). Желательно строить графики на бумаге в клеточку и как можно более точно.

Теперь по аналогии построим по двум точкам вторую прямую ограничений 0,4Х₁+Х₂=1,5. Для этой прямой имеем:

Х₁=0, Х₂=(1,5-0,4Х₁)/1=(1,5-0)/1=1,5.

Х₂=0, Х₁=(1,5-Х₂)/0,4=(1,5-0)/0,4=3,75.

По 2-м точкам можно построить вторую прямую ограничений (см.Приложение 2-1).

Этап 2) Далее необходимо определить "запрещенную" область, которую отсекает выпуклый четырехугольник в положительной плоскости, и вычислить координаты вершин четырехугольника.

Примечание: координаты выпуклого четырехугольника не могут быть отрицательными.

Примеры возможных выпуклых четырехугольников:

x2 x2

В

С B C

А D x1 А D x1

Координаты точки А: Х₁=0, Х₂=0 (точка А - это всегда начало координат).

Координаты точки В: Х₁=0, Х₂=1,5 (см. расчеты на 1-м этапе).

Координаты точки D: Х₁=3,5, Х₂=0 (см. расчеты на 1-м этапе).

Координаты точки С следует рассчитать отдельно. Поскольку эта точка находится на пересечении двух прямых ограничений, то она принадлежит и одной, и второй прямым. Поэтому вычислить ее координаты можно, если решить систему, состоящую из двух уравнений:

Х

{

₁+0,5Х₂=3,5

0,4Х₁+Х₂=1,5

{

{

{

Выразим из 2-го уравнения Х₂ и подставим полученное выражение в первое уравнение:

X₁+0,5Х₂=3,5 X₁+0,5•(1,5-0,4Х₁)=3,5 X₁+0,75-0,2Х₁=3,5

Х₂=1,5-0,4Х₁ Х₂=1,5-0,4Х₁ Х₂=1,5-0,4Х₁

{

{

{

0,8Х₁=3,5-0,75=2,75 Х₁=2,75/0,8=3,437 Х₁=3,437

Х₂=1,5-0,4Х₁ Х₂=1,5-0,4Х₁ Х₂=1,5-0,4•3,4375=0,125

Таким образом, были вычислены координаты точки С: Х₁=3,437, Х₂=0,125.

Этап 3) Затем необходимо определить, где будет находиться "запрещенная" область, не соответствующая ограничениям: внутри или снаружи выпуклого четырехугольника АВСD, который ее отсекает в плоскости.

Для этого существует достаточно простой способ: следует взять любую точку внутри либо снаружи четырехугольника и подставить ее в уравнения ограничений. Например, рассмотрим точку внутри четырехугольника АВСD с координатами Х₁=1 и Х₂=1. Подставим эти координаты в заданные уравнения ограничений:

1•1+0,5•1<=3,5 - верно

0,4•1+1•1<=1,5 - верно

Поскольку координаты точки, находящейся внутри четырехугольника АВСD, соответствуют ограничениям, значит, "запрещенная" область лежит снаружи четырехугольника. Следует ее заштриховать (см.Приложение 2-1).

Примечание: если бы координаты точки, взятой внутри четырехугольника, оказались несоответствующими ограничениям, то следовало бы заштриховать "запрещенную" область внутри четырехугольника.

Этап 4) Далее необходимо построить график целевой функции Z=0,5Х₁+0,3Х₂=мах.

Для этого 0,5Х₁+0,3Х₂ следует приравнять к числу, кратному коэффициентам 0,5 и 0,3, например, к числу 1,5, поскольку число 1,5 можно разделить на коэффициенты 0,5 и 0,3 без остатка. В результате имеем:

0,5Х₁+0,3Х₂=1,5.

Затем по точкам пересечения этой прямой с осями Х₁ и Х₂ необходимо построить прямую целевой функции. Для нахождения точек пересечения прямой с осями следует поочередно приравнять к нулю Х₁, а потом Х₂:

Х₁=0, Х₂=(1,5-0,5Х₁)/0,3=(1,5-0,5•0)/0,3=5.

Х₂=0, Х₁=(1,5-0,3Х₂)/0,5=(1,5-0,3•0)/0,5=3,5.

По 2-м точкам нужно построить прямую целевой функции (см.Приложение 2-1). Она называется изолинией, поскольку ее можно перемещать параллельно себе.

Этап 5) А далее с помощью графического метода необходимо найти решение. Здесь возможны варианты в зависимости от расположения изолинии.

а) если изолиния при построении оказалась за пределами четырехугольника АВСD, то ее необходимо перемещать параллельно себе в направлении к четырехугольнику до тех пор, пока она не соприкоснется с одной из его вершин.

б) если изолиния при построении пересекла четырехугольник АВСD (как в данном примере), то в первую очередь ее следует вынести параллельно себе за пределы четырехугольника в положительном направлении (не в отрицательную плоскость), а затем перемещать параллельно себе в направлении к четырехугольнику до тех пор, пока она не соприкоснется с одной из его вершин (см. Приложение 2-1).

Координаты первой точки, которой коснется изолиния при соприкосновении с четырехугольником АВСD, и будут являться решением задачи.

В данном примере такой точкой оказалась точка С (см. Приложение 2-1). Ее координаты Х₁=3,437, Х₂=0,125 являются решением задачи.

Этап 6) Для подтверждения графического метода расчетным следует определить значения целевой функции в точках А, В, С и D (в каждой из вершин выпуклого четырехугольника). Для этого координаты каждой из точек поочередно необходимо подставить в уравнение целевой функции:

Z=0,5Х₁+0,3Х₂.

А(0;0): Z_A=0,5•0+0,3•0=0

В(0;1,5): Z_B=0,5•0+0,3•*1,5=1,45

С(3,43;0,12): Z_C=0,5•3,437+0,3•0,125=1,756

D(3,5;0): Z_D=0,5•3,5+0,3•0)=1,75.

Из всех вычисленных значений целевой функции в вершинах четырехугольника выбираем максимальное: Z_C=1,751.

Вывод: оптимальное решение задачи - это координаты точки С: Х₁=3,437; Х₂=0,125.