Цели задачи б)

1) определить общий максимальный эффект от распределения ресурса Х_о;

2) вычислить, по сколько единиц груза целесообразно распределять на каждом из 4-х этапов, чтобы получить в конечном итоге максимальный эффект от распределения всего объема ресурса.

Решение задачи б)

Поиск решения будет осуществляться по формуле (5.1-б), указанной выше. По каждому варианту следует рассчитать отдельные составляющие этой формулы: X_ci, X_i, F_i(X_i), F_i-1^*(X_ci-X_i), затем подставить их в саму формулу: F_i(X_i) +

+ F_i-1^*(X_ci-X_i), а в заключении выбрать максимальный (оптимальный) эффект по каждому объему ресурса - F_i^*(X_i). Эти выше описанные действия необходимо произвести в отдельности по каждому варианту использования ресурса.

Для 1-го варианта распределения ресурса (i=1) не производится расчет для определения максимального эффекта F₁^*(Х₁), поскольку для начального этапа невозможно сделать предварительный анализ по предыдущим вариантам, поэтому максимальный эффект для этого варианта совпадает с исходным (см. 1-ю строку таблицы исходных данных). i=1

Xc1=X1	20	40	60
F1*(Х1)	5	9	16

Расчет начинается сразу для второго варианта (i=2) по аналогии с задачей вида а). Для удобства расчета в таблицу построчно заносятся составляющие формулы (5.1-б):

- в 1-й строке записывается объем ресурса X_c2 (т.е. объем ресурса по предыдущему и текущему вариантам - 1-му и 2-му);

- во 2-й строке – объем ресурса по 2-му варианту X₂;

- в 3-й строке – эффекты при распределении ресурса X₂ по 2-му варианту - F₂(X₂) (см. таблицу исходных данных);

- в 4-й строке (X_c2-X₂) рассчитывается разность двух предыдущих строк: например, для первой по счету клетки имеем: X_c2=20 ед., X₂=0 ед. Тогда X_c2 - -X₂=20-0=20. В таблицу можно занести только конечный результат (20), не включая сами расчеты (20-0=).

- в 5-й строке (F₁^*(X_c2-X₂)) записываются оптимальные (максимальные) эффекты по предыдущему, 1-му, варианту. Примечание: поскольку для 1-го варианта не делался предварительный анализ по предыдущим вариантам, то здесь оптимальные эффекты совпадают с исходными эффектами. Для первой клетки имеем: X_c2-X₂=20, F₁^*(X_c2-X₂)=F₁^*(20), т.е. это эффекты при распределении ресурса Х₁=20 ед. по 1-му варианту (см. 1-ю строку таблицы исходных данных - 5 у.е.).

- в 6-й строке записывается формула (5.1-б): F₂(X₂)+F₁^*(X_c2-X₂), т.е. сумма 3-й и 5-й строк таблицы:

- в 7-й строке выбираются оптимальные (максимальные) эффекты по каждому варианту распределения ресурса X_c2 - F₂^*(X₂):

По каждому ресурсу X_c2 среди ресурсов X₂ были выбраны те, которым соответствуют максимальные эффекты. Тот ресурс X₂, которому соответствует максимальный эффект, отмечается звездочкой (*) во 2-й строке таблицы:

i=2

Xc2

20

40

60

X2

0

20*

0

20*

40

0

20

40

60*

F2(X2)

0

6

0

6

10

0

6

10

17

Xc2-X2

20-0=20

20-20=0

40-0=40

40-20=20

40-40=0

60-0=60

60-20=40

60- -40=20

60-60=0

F1*(Xc2--X2)

F1*(20)= =5

F1*(0)= =0

F1*(40)= =9

F1*(20)= =5

F1*(0)= =0

F1*(60)= =16

F1*(40)= =9

F1*(20)= =5

F1*(0)==0

F2(X2)+ +F1*

0+5=5

6+0=6

0+9=9

6+5=11

10+0=10

0+16=16

6+9=15

10+5=15

17+0= =17

F2*(X2)

max(5;6)=6

max(9;11;10)=11

max(16;15;15;17)=17

Затем аналогично рассматривается 3-й вариант. Отличие от 2-го варианта будет лишь в 5-й строке, где рассчитываются оптимальные эффекты по 2-му варианту: в отличие от оптимальных эффектов по 1-му варианту, которые берутся из исходных данных, оптимальные эффекты по 2-му варианту были только что рассчитаны в последней, 7-й, строке выше записанной таблицы: F₂^*(20)=6, F₂^*(40)=11, F₂^*(60)=17. В 3-й строке таблицы выводятся эффекты при распределении ресурса Х₃ - см. исходные данные по 3-му варианту. Поэтому для 3-го варианта (i=3) имеем:

i=3

Xc3	20		40				60
X3	0*	20		0*	20*	40*		0*	20	40*	60*
F3(X3)	0	5		0	5	11		0	5	11	17
Xc3-X3	20-0=20	20-20=0		40-0=40	40-20=20	40-40=0		60-0=60	60-20=40	60- -40=20	60- -60=0
F2*(Xc3--X3)	F2*(20)= =6	F2*(0)= =0		F2*(40)= =11	F2*(20)= =6	F2*(0)= =0		F2*(60)= =17	F2*(40)= =11	F2*(20)=6	F2*(0)= =0
F3(X3)+ +F2*	0+6=6	5+0=5		0+11=11	5+6=11	11+0=11		0+17=17	5+11=16	11+6= =17	17+0= =17
F3*(X3)	max(6;5)=6		max(11;11;11)=11				max(17;16;17;17)=17

На последнем, 4-м этапе задача несколько упрощается, так как для последнего этапа X_ci=X_о, иными словами на последнем этапе ресурс по предыдущим этапам, включая последний, - это общий объем ресурса.

Поэтому таблица примет вид (комментарий - после таблицы):

i=4

Xc4 =Xо	60
X4	0*	20*	40	60*
F4(X4)	0	7	10	18
Xc4-X4	60-0=60	60-20=40	60-40=20	60-60=0
F3*(Xc4-X4)	17	11	6	0
F4(X4)+ +F3*(Xc4-X4)	0+17=17	7+11=18	10+6=16	18+0=18
F4*(X4)	max(17;18;16;18)=18

Комментарий к варианту i=4. 5-я строка таблицы F₃^*(X_c4-X₄) рассчитывается по аналогии с предыдущими вариантами. Например, оптимальные эффекты по 3-му варианту были только что рассчитаны в последней, 7-й, строке предыдущей таблицы. Например, F₃^*(20)=6, F₃^*(40)=11, F₃^*(60)=17. В 3-й строке таблицы выводятся эффекты при распределении ресурса Х₄ - см. исходные данные по 4-му варианту.

Формируем общее решение задачи. Каким образом получается максимальный эффект 18 (см. F₄^*(X₄) в 7-й строке последней таблицы) на распределение ресурса 60 ед., иными словами, по сколько единиц груза необходимо распределять на каждом из 4-х этапов, чтобы получить в конечном итоге максимальный эффект 18?

1) Решение начинается с рассмотрения последнего этапа.

На 4-м этапе выделено два ресурса Х₄, отмеченых звездочкой * (Х_опт4= =20ед. и Х_опт4=60 ед.), т.е. в задаче имеет место многовариантность решений, и необходимо рассматривать оптимальные решения по каждому отдельному варианту.

1-й вариант

Х_опт4=20 ед. (см. в табл. для i=4 во 2-й строке, какой ресурс Х₄ отмечен звездочкой *). Это будет один из оптимальных объемов ресурса на 4-м этапе.

Тогда оптимальный объем ресурса по предыдущим вариантам составит:

Х_сопт3=Х_о-Х_опт4 (5.2)

где Хо - общий объем ресурса (см. условие задачи).

Подставив данные в формулу, получим:

Х_сопт3=Х_о-Х_опт4=60-20=40 ед.

2) Теперь по 3-му варианту следует рассмотреть, каким оптимальным образом распределяется ресурс 40 ед., вычисленный по формуле (5.2), на предыдущем этапе i=3. Т.е. задача состоит в том, чтобы по 3-му варианту (i=3) для Х_сопт3=40ед. выделить, какой ресурс Х₃ отмечен звездочкой *, а значит, является оптимальным на 3-м этапе. В данном примере для Х_сопт3=40 ед. звездочкой на 3-м этапе отмечено три ресурса Х₃: Х₃=0 ед.; Х₃=20 ед.; Х₃=40 ед. Следовательно, на этом этапе решение многовариантно. Необходимо рассмотреть каждый вариант в отдельности.

1-а вариант	Хопт3=0 ед.
1-б вариант	Хопт3=20 ед.
1-в вариант	Хопт3=40 ед.

Теперь выясним, какой оптимальный объем ресурса остается на предыдущие варианты.

1-а вариант	Хсопт2=Хо-Хопт4 -Хопт3=60-20-0=40 ед.
1-б вариант	Хсопт2=Хо-Хопт4 -Хопт3=60-20-20=20 ед.
1-в вариант	Хсопт2=Хо-Хопт4 -Хопт3=60-20-40=0 ед.

3) Теперь по 2-му варианту следует рассмотреть, каким оптимальным образом распределяется соответствующий ресурс на предыдущем этапе i=2. Т.е. по 2-му варианту i=2 для соответствующего Х_сопт2 следует выделить, какой ресурс Х₂ отмечен звездочкой *, а значит, является оптимальным на 2-м этапе. В данном примере для Х_сопт2=40 ед. звездочкой на 2-м этапе отмечен Х₂=20 ед.; для Х_сопт2=20 ед. звездочкой на 2-м этапе отмечен Х₂=20 ед.; для Х_сопт2=0 ед. оптимальным является ресурс Х₂=0 ед.

1-а вариант	Хопт2=20 ед.
1-б вариант	Хопт2=20 ед.
1-в вариант	Хопт2=0 ед.

Затем рассчитаем оптимальный объем ресурса, который целесообразнее распределять на 1-м этапе. Сначала определим, какой оптимальный объем ресурса остается на предыдущие варианты:

1-а вариант	Хсопт1=Хо-Хопт4 -Хопт3-Хопт2=60-20-0-20=20 ед.
1-б вариант	Хсопт1=Хо-Хопт4 -Хопт3-Хопт2=60-20-20-20=0 ед.
1-в вариант	Хсопт1=Хо-Хопт4 -Хопт3-Хопт2=60-20-40-0=0 ед.

4) Для начального, 1-го, этапа имеем:

Х_опт1=Х_cопт1=40 ед.

1-а вариант	Хопт1= Хсопт1=20 ед.
1-б вариант	Хопт1= Хсопт1=0 ед.
1-в вариант	Хопт1= Хсопт1=0 ед.

И в заключении по таблице исходных данных определим, как формируются максимальный эффект 18.

1-а вариант

Таблица исходных данных.

Этап	Затраты при распределении ресурса Хо по вариантам
i	Х=0	Х=20	Х=40	Х=60
1	0	5	9	16
2	0	6	10	17
3	0	5	11	17
4	0	7	10	18

По 1-му варианту Х_опт1=20 ед. По таблице исходных данных видно, что по 1-му варианту при распределении 20 ед. полученный эффект составляет 5. По 2-му варианту Х_опт2=20 ед. По таблице исходных данных по 2-му варианту при распределении 20 ед. достигается эффект 6. По 3-му варианту Х_опт3=0 ед., а F₃(X₃)=0. По 4-му варианту Х_опт4=20 ед., а F₄(X₄)=7. Последовательно суммируя все эффекты, получаем общий максимальный эффект:

Z=5+6+0+7=18.

Вывод 1-а: суммарный максимальный эффект при распределении общего объема ресурса - 18.

1-б вариант

Таблица исходных данных.

Этап	Затраты при распределении ресурса Хо по вариантам
i	Х=0	Х=20	Х=40	Х=60
1	0	5	9	16
2	0	6	10	17
3	0	5	11	17
4	0	7	10	18

Суммируя все эффекты, получаем общий максимальный эффект:

Z=0+6+5+7=18.

Вывод 1-б: суммарный максимальный эффект при распределении общего объема ресурса - 18.

1-в вариант

Таблица исходных данных.

Этап	Затраты при распределении ресурса Хо по вариантам
i	Х=0	Х=20	Х=40	Х=60
1	0	5	9	16
2	0	6	10	17
3	0	5	11	17
4	0	7	10	18

Суммируя все эффекты, получаем общий максимальный эффект:

Z=0+0+11+7=18.

Вывод 1-в: суммарный максимальный эффект при распределении общего объема ресурса - 18.

Поскольку на 4-м этапе было выделено два ресурса Х₄, отмеченых звездочкой * (Х_опт=20 ед. и Х_опт4=60 ед.), необходимо определить оптимальное решение и по 2-му варианту.

2-й вариант

1) Х_опт4=60 ед. Это будет второй оптимальный вариант распределения ресурса на 4-м этапе. Он равен общему объему распределения ресурса Х_о,

Тогда оптимальный объем ресурса по предыдущим вариантам составит:

Х_сопт3=Х_о-Х_опт4=60-60=0 ед. (2)

Следовательно оптимальные решения по первым трем этапам будут равны нулю.

2) Х_опт3=0 ед.

3) Х_опт2=0 ед.

4) Х_опт1=0 ед.

И в заключении по таблице исходных данных определим, как формируются максимальный эффект 18.

Таблица исходных данных.

Этап	Затраты при распределении ресурса Хо по вариантам
i	Х=0	Х=20	Х=40	Х=60
1	0	5	9	16
2	0	6	10	17
3	0	5	11	17
4	0	7	10	18

По 1-му варианту Х_опт1=0 ед. По таблице исходных данных видно, что по 1-му варианту при распределении 0 ед. полученный эффект составляет 0. По 2-му и 3-му вариантам аналогично: Х_опт2=0 ед. и Х_опт3=0 ед., а значит, F₂(X₂)=0 и F₃(X₃)=0. По 4-му варианту Х_опт4=60 ед., а F₄(X₄)=18. Последовательно суммируя все эффекты, получаем общий максимальный эффект:

Z=0+0+0+18=18.

Вывод 2: суммарный максимальный эффект при распределении общего объема ресурса - 18.