Пример решения задачи № 5

Решить однопродуктовую задачу динамического программирования на минимум или на максимум (в зависимости от условия задачи):

а) Задача на минимум			б) Задача на максимум
Необходимо распределить ресурс общим объемом Xo=60 ед. по 4-м планируемым вариантам таким образом, чтобы получить минимальные суммарные затраты. Возможные объемы распределения ресурса по вариантам и возникающие при этом затраты Fi(Xi) представлены в таблице ниже:			Необходимо распределить ресурс общим объемом Xo=60 ед. по 4-м планируемым вариантам таким образом, чтобы получить максимальный эффект. Возможные объемы распределения ресурса по вариантам и соответствующие эффекты Fi(Xi) представлены в таблице:
Вариант	Fi(Xi) при распределении ресурса Хo по вариантам
i	Х=0	Х=20		Х=40	Х=60
1	0	5		9	16
2	0	6		10	17
3	0	5		11	17
4	0	7		10	18

а) Целевая функция для получения минимальных затрат определяется по формуле:

Z_i(X_i) = F_i(X_i) + F_i-1^*(X_ci-X_i) → min (5.1-а)

б) Целевая функция для получения максимального эффекта определяется по формуле:

Z_i(X_i) = F_i(X_i) + F_i-1^*(X_ci-X_i) → max (5.1-б)

где F_i(X_i) - затраты (или эффекты) при распределении ресурса по i-му варианту;

F_i-1^*(X_ci-X_i) - минимальные затраты (или максимальные эффекты) при

распределении ресурса по предыдущим вариантам;

X_ci - объем ресурса по всем предыдущим вариантам, включая i-й.

X_ci<= X_о , X_ci>=0

X_i<=X_o, X_i>=0

Цели задачи а)

1) определить общие минимальные затраты от распределения ресурса Х_о;

2) вычислить, по сколько единиц груза целесообразно распределять на каждом из 4-х этапов, чтобы получить в конечном итоге минимальные затраты от распределения всего объема ресурса.

Решение задачи а)

Поиск решения будет осуществляться по формуле (5.1-а), указанной выше. По каждому варианту следует рассчитать отдельные составляющие этой формулы: X_ci, X_i, F_i(X_i), F_i-1^*(X_ci-X_i), затем подставить их в саму формулу: F_i(X_i) +

+ F_i-1^*(X_ci-X_i), а в заключении выбрать минимальные (оптимальные) затраты по каждому объему ресурса - F_i^*(X_i). Эти выше описанные действия необходимо произвести в отдельности по каждому варианту использования ресурса.

Для 1-го варианта распределения ресурса (i=1) не производится расчет для определения минимальных затрат F₁^*(Х₁), поскольку для начального этапа невозможно сделать предварительный анализ по предыдущим вариантам, поэтому минимальные затраты для этого варианта совпадают с исходными (см. 1-ю строку таблицы исходных данных). i=1

Xc1=X1	20	40	60
F1*(Х1)	5	9	16

Расчет начинается сразу для второго варианта (i=2). Для удобства расчета в таблицу построчно заносятся составляющие формулы (5.1-a):

- в 1-й строке записывается объем ресурса X_c2 (т.е. объем ресурса по предыдущему и текущему вариантам - 1-му и 2-му);

- во 2-й строке – объем ресурса по 2-му варианту X₂;

- в 3-й строке – затраты при распределении ресурса X₂ по 2-му варианту - F₂(X₂) (см. таблицу исходных данных):

i=2

Xc2		20			40			60
X2	0		20	0		20	40	0	20	40	60
F2(X2)	0		6	0		6	10	0	6	10	17

- в 4-й строке (X_c2-X₂) рассчитывается разность двух предыдущих строк: например, для первой по счету клетки имеем: X_c2=20 ед., X₂=0 ед. Тогда X_c2 - -X₂=20-0=20. В таблицу можно занести только конечный результат (20), не включая сами расчеты (20-0=).

i=2

Xc2	20		40			60
X2	0	20	0	20	40	0	20	40	60
F2(X2)	0	6	0	6	10	0	6	10	17
Xc2-X2	20-0=20	20-20=0	40-0=40	40-20= =20	40-40=0	60-0=60	60-20= =40	60-40= =20	60-60= =0

- в 5-й строке (F₁^*(X_c2-X₂)) записываются оптимальные (минимальные) затраты по предыдущему, 1-му, варианту. Примечание: поскольку для 1-го варианта не делался предварительный анализ по предыдущим вариантам, то здесь оптимальные затраты совпадают с исходными затратами. Для первой клетки имеем: X_c2-X₂=20, F₁^*(X_c2-X₂)=F₁^*(20), т.е. это затраты при распределении ресурса Х₁=20 ед. по 1-му варианту (см. 1-ю строку таблицы исходных данных - 5 у.е.).

i=2

Xc2	20		40				60
X2	0	20		0	20	40		0	20	40	60
F2(X2)	0	6		0	6	10		0	6	10	17
Xc2-X2	20-0=20	20-20=0		40-0=40	40-20=20	40-40=0		60-0=60	60-20=40	60-40=20	60-60=0
F1*(Xc2--X2)	F1*(20)= =5	F1*(0)= =0		F1*(40)= =9	F1*(20)= =5	F1*(0)= =0		F1*(60)= =16	F1*(40)= =9	F1*(20)= =5	F1*(0)==0

- в 6-й строке записывается формула (5.1-а): F₂(X₂)+F₁^*(X_c2-X₂), т.е. сумма 3-й и 5-й строк таблицы:

i=2

Xc2

20

40

60

X2

0

20

0

20

40

0

20

40

60

F2(X2)

0

6

0

6

10

0

6

10

17

Xc2-X2

20-0=20

20-20=0

40-0=40

40-20=20

40-40=0

60-0=60

60-20=40

60- -40=20

60-60=0

F1*(Xc2--X2)

F1*(20)= =5

F1*(0)= =0

F1*(40)= =9

F1*(20)= =5

F1*(0)= =0

F1*(60)= =16

F1*(40)= =9

F1*(20)= =5

F1*(0)= =0

F2(X2)+ +F1*

0+5=5

6+0=6

0+9=9

6+5=11

10+0=10

0+16=16

6+9=15

10+5=15

17+0= =17

- в 7-й строке выбираются оптимальные (минимальные) затраты по каждому варианту распределения ресурса X_c2 - F₂^*(X₂):

i=2

Xc2

20

40

60

X2

0

20

0

20

40

0

20

40

60

F2(X2)

0

6

0

6

10

0

6

10

17

Xc2-X2

20-0=20

20-20=0

40-0=40

40-20=20

40-40=0

60-0=60

60-20=40

60- -40=20

60-60=0

F1*(Xc2-X2)

F1*(20)= =5

F1*(0)= =0

F1*(40)= =9

F1*(20)= =5

F1*(0)= =0

F1*(60)= =16

F1*(40)= =9

F1*(20)= =5

F1*(0)==0

F1*(Xc2--X2)

F1*(20)= =5

F1*(0)= =0

F1*(40)= =9

F1*(20)= =5

F1*(0)= =0

F1*(60)= =16

F1*(40)= =9

F1*(20)= =5

F1*(0)= =0

F2(X2)+ +F1*

0+5=5

6+0=6

0+9=9

6+5=11

10+0=10

0+16=16

6+9=15

10+5=15

17+0= =17

F2*(X2)

min(5;6)=5

min(9;11;10)=9

min(16;15;15;17)=15

По каждому ресурсу X_c2 среди ресурсов X₂ были выбраны те, которым соответствуют минимальные затраты. Тот ресурс X₂, которому соответствуют минимальные затраты, отмечается звездочкой (*) во 2-й строке таблицы:

i=2

Xc2	20		40				60
X2	0*	20		0*	20	40	0	20*	40*	60
F2(X2)	0	6		0	6	10	0	6	10	17
Xc2-X2	20-0= =20	20-20= =0		40-0= =40	40-0= =20	40-40= =0	60-0= =60	60-20= =40	60-40= =20	60-60= =0
F1*(Xc2--X2)	F1*(20)= =5	F1*(0)= =0		F1*(40) =9	F1*(20)= =5	F1*(0)= =0	F1*(60)= =16	F1*(40)= =9	F1*(20)= =5	F1*(0)= =0
F2(X2)++F1*	0+5=5	6+0=6		0+9=9	6+5=11	10+0=10	0+16=16	6+9=15	10+5=15	17+0=17
F2*(X2)	min(5;6)=5		min(9;11;10)=9				min(16;15;15;17)=15

Затем аналогично рассматривается 3-й вариант. Отличие от 2-го варианта будет лишь в 5-й строке, где рассчитываются оптимальные затраты по 2-му варианту: в отличие от оптимальных затрат по 1-му варианту, которые берутся из исходных данных, оптимальные затраты по 2-му варианту были только что рассчитаны в последней, 7-й, строке выше записанной таблицы: F₂^*(20)=5, F₂^*(40)=9, F₂^*(60)=14. В 3-й строке таблицы выводятся затраты при распределении ресурса Х₃ - см. исходные данные по 3-му варианту. Поэтому для 3-го варианта (i=3) имеем:

i=3

Xc3	20		40				60
X3	0*	20*		0*	20	40	0	20*	40	60
F3(X3)	0	5		0	5	11	0	5	11	17
Xc3-X3	20-0= =20	20-20= =0		40-0= =40	40-20= =20	40-40= =0	60-0= =60	60-20= =40	60-40= =20	60-60= =0
F2*(Xc3--X3)	F2*(20)= =5	F2*(0)= =0		F2*(40)= =9	F2*(20)= =5	F2*(0)= =0	F2*(60)= =15	F2*(40)= =9	F2*(20)= =5	F2*(0)= =0
F3(X3)+ +F2*	0+5= =5	5+0= =5		0+9= =9	5+5= =10	11+0= =11	0+15= =15	5+9= =14	11+5= =16	17+0= =17
F3*(X3)	min(5;5)=5		min(9;10;11)=9				min(15;14;16;17)=14

На последнем, 4-м этапе задача несколько упрощается, так как для последнего этапа X_ci=X_о, иными словами на последнем этапе ресурс по предыдущим этапам, включая последний, - это общий объем ресурса.

Поэтому таблица примет вид (комментарий - после таблицы):

i=4

Xc4 =Xо	60
X4		0*	20	40	60
F4(X4)		0	7	10	18
Xc4-X4		60-0=60	60-20=40	60-40=20	60-60=0
F3*(Xc4-X4)		14	9	5	0
F4(X4)+F3*(Xc4-X4)		0+14=14	7+9=16	10+5=15	18+0=18
F4*(X4)	min(14;16;15;18)=14

Комментарий к варианту i=4. 5-я строка таблицы F₃^*(X_c4-X₄) рассчитывается по аналогии с предыдущими вариантами. Например, оптимальные затраты по 3-му варианту были только что рассчитаны в последней, 7-й, строке предыдущей таблицы. Например, F₃^*(20)=5, F₃^*(40)=9, F₃^*(60)=14. В 3-й строке таблицы выводятся затраты при распределении ресурса Х₄ - см. исходные данные по 4-му варианту.

Формируем общее решение задачи. Каким образом получаются минимальные затраты 14 у.е. (см. F₄^*(X₄) в 7-й строке последней таблицы) при распределении ресурса 60 ед., иными словами, по сколько единиц груза необходимо распределять на каждом из 4-х этапов, чтобы получить в конечном итоге минимальные затраты 14 у.е.?

Решение начинается с рассмотрения последнего этапа.

1) Х_опт4=0 ед. (см. в табл. для i=4 во 2-й строке, какой ресурс Х₄ отмечен звездочкой *). Это будет оптимальный объем ресурса на 4-м этапе.

Тогда оптимальный объем ресурса по предыдущим вариантам составит:

Х_сопт3=Х_о-Х_опт4 (5.2)

где Хо - общий объем ресурса (см. условие задачи).

Подставив данные в формулу, получим:

Х_сопт3=Х_о-Х_опт4=60-0=60 ед.

Теперь по 3-му варианту следует рассмотреть, каким оптимальным образом распределяется ресурс 60 ед., вычисленный по формуле (5.2), на предыдущем этапе i=3. Т.е. задача состоит в том, чтобы по 3-му варианту (i=3) для Х_сопт3=60ед. выделить, какой ресурс Х₃ отмечен звездочкой *, а значит, является оптимальным на 3-м этапе. В данном примере для Х_сопт3=60 ед. звездочкой на 3-м этапе отмечен Х₃=20 ед.

2) Х_опт3=20 ед.

Примечание: если бы по какому-либо из вариантов для Х_соптi можно было выделить два и более ресурсов Х_i, отмеченых звездочкой *, это бы означало, что в подобном случае имеет место многовариантность решений и необходимо рассматривать оптимальные решения по каждому отдельному варианту.

Теперь выясним, какой оптимальный объем ресурса остается на предыдущие варианты.

Х_сопт2=Х_о-Х_опт4 -Х_опт3=60-0-20=40 ед.

Теперь по 2-му варианту следует рассмотреть, каким оптимальным образом распределяется ресурс 40 ед. на предыдущем этапе i=2. Т.е. по 2-му варианту i=2 для Х_сопт2=40ед. следует выделить, какой ресурс Х₂ отмечен звездочкой *, а значит, является оптимальным на 2-м этапе. В данном примере для Х_сопт2=40 ед. звездочкой на 2-м этапе отмечен Х₂=0 ед.

3) Х_опт2=0 ед.

Затем рассчитаем оптимальный объем ресурса, который целесообразнее распределять на 1-м этапе. Сначала определим, какой оптимальный объем ресурса остается на предыдущие варианты:

Х_сопт1=Х_о-Х_опт4 -Х_опт3-Х_опт2=60-0-20-0=40 ед.

4) Для начального, 1-го, этапа имеем:

Х_опт1=Х_cопт1=40 ед.

И в заключении по таблице исходных данных определим, как формируются вычисленные минимальные затраты 14 у.е.

Таблица исходных данных.

Вариант	Затраты при распределении ресурса Хо по вариантам
i	Х=0	Х=20	Х=40	Х=60
1	0	5	9	16
2	0	6	10	17
3	0	5	11	17
4	0	7	10	18

По 1-му варианту Х_опт1=40 ед. По таблице исходных данных видно, что по 1-му варианту при распределении 40 ед. затрачивается 9 у.е. По 2-му варианту Х_опт2=0 ед. По таблице исходных данных по 2-му варианту на распределение 0 ед. затрачивается 0 у.е. По 3-му варианту Х_опт3=20 ед., а F₃(X₃)=5 у.е. По 4-му варианту Х_опт4=0ед., а F₄(X₄)=0 у.е. Последовательно суммируя все затраты, получаем общие минимальные затраты:

Z=9+0+5+0=14 у.е.

Вывод в задаче: суммарные минимальные затраты на распределение общего объема ресурса - 14 у.е.