26. Монотонность функции. Достаточный признак возрастания (убывания) функции. Достаточные признаки экстремума функции одного переменного. Монотонность функции
Возрастающие и убывающие функции объединяют общим понятием: монотонные функции.
Монотонная функция – это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.
Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y тоже возрастает, то это возрастающая функция.
Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y убывает, то это убывающая функция.
Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.Функция постоянна (немонотонна), если она не убывает и не возрастает.
формулировки признаков: если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;
если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.
Таким
образом, чтобы определить промежутки
возрастания и убывания функции
необходимо:
найти область определения
функции; найти производную функции;
решить неравенства 
и 
на
области определения; полученным
промежуткам добавить граничные точки,
в которых функция определена и непрерывна.
27. Формула Тейлора. Остаточный член формулы Тейлора.
28. Представление простых элементарных функций по формуле Тейлера.
1.
Рассмотрим функцию 
.
Все её производные совпадают с ней: 
,
так что коэффициенты Тейлора в
точке 
равны
Поэтому формула Тейлора для экспоненты такова:
2.
Рассмотрим функцию 
.
Её производные чередуются в таком
порядке:
формулу Тейлора для синуса:
разложение косинуса по формуле Тейлора имеет вид
29. Выпуклость функции. Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия существование точек перегиба.
. График функции y=f(x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале (a,b), если касательная к графику, проведенная в любой точке этого интервала, расположена над (под) графиком функции.
Точки, в которой график функции меняет направление выпуклости, называют точками перегиба графика функции.
. (необходимый
признак точки перегиба). Если
точка х0 является
точкой перегиба графика дважды
дифференцируемой функции, то в этой
точке вторая производная равна нулю: 
=0.
(достаточный признак точки перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через нее вторая производная меняет знак, то данная точка является точкой перегиба.
30. Асимптоты графика функции. Уравнение асимптоты вертикальной и наклонной.
Асимптотой функции называют прямую, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат.
Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва функции и границами области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет.
Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва второго рода В этом случае f( x0 ± 0) = ± ∞, или f ( x0 ± 0) = + ∞ , или f (x0 ± 0) = − ∞. Следует отметить, что в этом случае может отмечаться всё разнообразие поведения функции в окрестности точки разрыва .Например, на рис. 1 приведён график элементарной функции
- наклонная асимптота
Уравнение наклонной асимптоты функции y = f (x) определим уравнением y =k·x + b. При этом параметры наклонной асимптоты определяются соотношениями
,
.
Для того, чтобы функция y = f (x ) имела асимптоту y = k ·x + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали указанные выше конечные пределы.