31) Осевые, полярные и центробежные моменты инерции.

Осевой момент инерции фигуры - это интеграл произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. Формулы осевого момента инерции произвольной фигуры (см. рис. 4.1) относительно осей x и y:

Полярный момент инерции фигуры относительно данной точки (полюса) - это интеграл произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний до полюса:

Если через полюс проведена система взаимно перпендикулярных осей x и y, то  , и формула полярного момента инерции равна сумме осевых моментов инерции относительно осей x и y:

Из формул осевых  и полярного  моментов инерции видно: значения осевых и полярного моментов инерции всегда положительны, так как координаты  и расстояние  возведены в квадрат.

Центробежный момент инерции фигуры - это интеграл произведений элементарных площадей на их расстояния до осей x и y:

32) Изменение моментов инерции при параллельном переносе и повороте осей координат.

С ТЕТРАДИ СПИСАЛА

33) Главные оси и главные моменты инерции.

С ТЕТРАДИ СПИСАЛА

34) Моменты инерции простых фигур.

Вычислим моменты инерции простейших фигур.

Прямоугольник

Определим моменты инерции относительно осей, совпадающих со сторонами, и относительно центральных осей.

По определению  .

                      Рис. 4.8

 

Элемент площади равен   dA = bdy,

следовательно  .

По формуле  , откуда, учитывая что   А = bh, y_c = 0,5h,   находим

.

Аналогично получим    и    .

 

Треугольник

Момент инерции относительно оси х, cовпадающей с основанием,

.

Но   dA = b(y)dy,   b(y) = (b/h)(h-y).

Cледовательно,

.

                        Рис. 4.9

 

По формуле параллельного переноса  ,  откуда  .

 

Круг

Для  любых  центральных  осей   ,  поэтому   .

Как известно, полярный момент инерции круга равен  .

             Рис. 4.10

 

Следовательно,  .

 

Кольцо  ( ).

Момент инерции относительно оси   (рис.4.11) можно определить как разность моментов инерции наружного и внутреннего круга:

.

Для тонкого кольца существует приближенная формула  , где   d_ср – средний диаметр, t - толщина кольца.

            Рис. 4.11

35) Алгоритм определения положения центра тяжести сечения и вычисления моментов инерции для составных сечений. Применение понятий геометрических характеристик в расчетах.

1. Определить центр тяжести составного сече­ния. В качестве вспомогательных осей для определения положения центра тяжести примем горизонтальную и вертикальную оси x_шв и y_шв , проходящие через центр тяжести швеллера. Статические моменты площади всего сечения относительно этих осей будут равны:

2. Определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно осей, проходящих че­рез его центр тяжести. Для определения указанных момен­тов инерции составного сечения воспользуемся формулами, выра­жающими зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей:

3. Найти положение главных центральных осей инерции. Угол наклона главных осей инерции, проходящих через центр тяжести составного сечения, к центральным осям инерции x_C и y_C определим по формуле:

4. Определить величины главных центральных мо­ментов инерции сечения и проверить правильность их вычисления. Величины главных центральных моментов инерции составного сечения вычисляем по формуле:

Проверки удовлетворяются, что говорит о правильности вычис­ления моментов инерции составного сечения.

5. Вычислить величины главных радиусов инерции. Величины главных радиусов инерции вычисляем по известным формулам: