20. Поток вектора . Теорема Гаусса и ее использование для расчета электрических полей равномерно заряженных плоскости, нити, заряженной сферической поверхности и объёмно-заряженного шара.

Число линий вектора E, пронизывающих некоторую поверхность S, называется потоком вектора напряженности NE

Для вычисления потока вектора E необходимо разбить площадь S на элементарные площадки dS, в пределах которых поле будет однородным

Поток напряженности через такую элементарную площадку будет равен по определению

где - угол между силовой линией и нормалью к площадке dS; - проекция площадки dS на плоскость, перпендикулярную силовым линиям. Тогда поток напряженности поля через всю поверхность площадки S будет равен

Так как , то

где E_k - проекция вектора E на нормаль и к поверхности dS.

Теорема Гауса

Таким образом, полный поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность произвольной формы численно равен алгебраической сумме свободных электрических зарядов, заключенных внутри этой поверхности, поделенной на

Вычисление напряжённости поля вблизи бесконечной плоскости, нити с поверхностной плотностью заряда σ и линейной плотностью заряда τ.

Р асчёт напряжённости бесконечной плоскости

Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной однородной заряженной плоскостью. Пусть поверхностная плотность заряда плоскости одинакова и равна σ. Представим себе мысленно цилиндр с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основанием ΔS, расположенным относительно плоскости симметрично. В силу симметрии E' = E'' = E. Поток вектора напряжённости равен 2EΔS. Применив теорему Гаусса, получим:

из которого

Р асчёт напряжённости бесконечной нити

Р ассмотрим поле, создаваемое бесконечной нитью с линейной плотностью заряда, равной λ. Пусть требуется определить напряжённость, создаваемую этим полем на расстоянии R от нити. Возьмём в качестве гауссовой поверхности цилиндр с осью, совпадающей с нитью, радиусом R и высотой Δl. Тогда поток напряжённости через эту поверхность рассчитывается следующим образом:

В силу симметрии, модуль напряжённости в любой точке поверхности цилиндра будет одинаков. Тогда поток напряжённости через эту поверхность рассчитывается следующим образом:

Учитывается только площадь боковой поверхности цилиндра, так как поток через основания цилиндра равен нулю. Приравнивая 1 и 2 выражения, получим:

Вычисление напряжённости поля вблизи заряженных сферы и шара.

Расчет напряженностей для заряженной сферы (поле заряженной сферы).

П усть имеется:

а) Полая сфера или шар из проводящего материала. В обоих случаях заряд распределяется по поверхности по закону Кулона. Тогда по теореме О.-Г.

.

Приравняем интегралы

Аналогичным способом рассуждая, полный поток вектора через сферу любого радиуса r определится как:

Окончательно получаем напряженность в любой точке пространства, расположенной вдали от заряженной полой сферы:

б) Если

К аждый отдельно взятый заряд на поверхности сферы дает силовую линию, которая пересекает сферу радиуса r дважды (со знаком “+” и со знаком “-”, т.е. входящий и выходящий), таким образом результирующее количество векторов Е, пересекающих эту сферу, равно нулю. То есть электрическое поле внутри полой сферы отсутствует.

в) Поле сферы с зарядом, равномерно распределенным по объему.

По закону Кулона (взаимное отталкивание зарядов) в однородном проводящем теле заряды распределяются по поверхности. Поэтому возьмем искусственный случай смеси проводящих элементов в непроводящей массе.

Рассмотрим случай (r > R): Аналогично рассуждая, поток вектора Е через сферу радиуса r определится как:

; И вновь получим:

- напряженность вдали от сплошной заряженной сферы.

Рассмотрим случай (r < R):

П о теореме Гаусса поток вектора Е состоит из двух потоков , где - поток векторов, обусловленный внешним кольцом зарядов относительно сферы радиуса , по определению он  0 (см. пр. тему).

- поток векторов Е внутренних зарядов относительно сферы радиуса r:

, где - заряд внутри сферы r.

Вводится понятие объемной плотности заряда  , т.е. количество заряда в единице объёма, тогда количество заряда внутри сферы r определится как:

, где  - объемная плотность заряда.

По определению:

а также

Окончательно получаем, что величина напряженности в любой точке пространства внутри однородно заряженной сферы:

.