14. Типовые законы изменения входных параметров. Ступенчатое и импульсное возмущение на входе. Инерционность технологического объекта.

Для определения динамических характеристик объекта и возможности сравнения их друг с другом приняты типовые законы входных параметров.

Широко используют ступенчатое изменение входной величины (ступенчатое возмущение на входе) и импульсное изменение входной величины. Такие изменения называют типовыми сигналами.

Если величина типового сигнала=1, тогда ее называют единичный скачок, единичный импульс либо стандартный ступенчатый, стандартный импульсный сигнал.

а) стандартный ступенчатый сигнал

x_bx

б) стандартный импульсный сигнал

b a→∞

b→0

ab→1

0 t

x_bх(t) = δ(t)

При t=0 x_bх(t) = 1

При t < 0 и t > 0 x_bх(t) = 0

Реакция объекта на единичное входное ступенчатое воздействие при условии, что до момента приложения этого воздействия объект находился в покое, называется временной характеристикой объекта.

При импульсном единичном возмущенном воздействии на входе динамическая характеристика носит название импульсной кривой.

Временная характеристика или импульсная кривая – отклик объекта на входной или ступенчатый сигнал.

Данные характеристики легко могут быть получены на промышленных объектах (их называют кривые разгона)

Объекты также можно охарактеризовать инерционностью.

Инерционность технологического объекта (ТО) – постепенность изменения выходной переменной при мгновенном изменении входной.

Количественной мерой инерционности является постоянная времени объекта T.

Если рассматриваемый объект описывается ДУ 1-го порядка, тогда постоянная времени объекта Т является коэффициент при производной 1-го порядка и показывает за какой промежуток времени выходной параметр достиг бы своего неустановившегося значения, если бы он изменялся с постоянной скоростью равной первоначальной.

Для объектов, которые описываются ДУ более высокого порядка понятие времени можно выразить условно постоянные коэффициенты при производных соответствующего порядка.

15. Вероятность. Понятие о дискретных и непрерывных случайных величинах. Законы распределения случайной величины.

Вероятность события p_i – число, заключенное между 0 и 1, характеризующее среднюю частоту появления в измерениях того или иного значения СВ.

ДСВ можно полностью задать вероятностным рядом, указав вероятность p_i для каждого значения x_i.

Дискретными СВ (ДСВ) наз. случайные величины, возможные значения которых есть отдельные изолированные числа (т.е. между двумя соседними значениями нет возможных значений), например, количество единиц оборудования в цехе, количество циклов прессования керамической плитки в сутки. Пусть ДСВ X может принимать в результате опыта значения x₁, x₂,…,x_k. Отношение числа опытов m_i, в результате которых СВ X приняла значение x_i, к общему числу произведенных опытов n называется частотой появления события. Частота m_i/n сама является СВ и меняется в зависимости от количества произведенных опытов. Но при большом числе опытов она имеет тенденцию стабилизироваться около некоторого значения p_i, называемого вероятностью события:

Непрерывными СВ (НСВ) называются СВ, принимающие любые значения на некотором промежутке числовой оси (время, температура обжига, давление прессования керамической плитки, расход топлива на варку стекла, физико-химические свойства получаемого материала).

Вероятность того, что НСВ точно примет заданное значение, равна нулю. Число значений так велико, что для большинства из них вероятность принять эти значения равна нулю, т.е. событие может произойти, а вероятность его равна нулю. Для НСВ определяется вероятность того, что в результате опыта ее значение попадет в некоторый интервал.

Удобно пользоваться вероятностью событий X<x, где x – произвольное действительное число, а X – СВ. Эта вероятность является функцией от x:

и называется функцией распределения СВ (интегральная функция распределения).

В виде функции распределения можно задать распределение как НСВ, так и ДСВ (см. рисунок).

Рисунок – Функция распределения: а) НСВ; б) ДСВ

Значения функции распределения при предельных значениях аргумента соответственно равны 0 и 1.

Функция распределения ДСВ всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям СВ, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков равна 1. Соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения.

16 Дифференциальная и интегральная функции распределения (плотность вероятности) случайной величины. Понятие математического ожидания и дисперсии случайной величины. Нормальный закон распределения случайной величины.

Интегральная функция распределения. Здесь вероятностью событий является X<x, где x – произвольное действительное число, а X – случайная величина. Эта вероятность является функцией от x:

и называется функцией распределения случайной величины.

Дифференциальная функция. Для непрерывной случайной величины(СВ) наиболее часто употребляется производная функции распределения – плотность распределения СВ f(x).

Площадь, ограниченная осью x, прямыми x=x₁ и x=x₂ и кривой плотности распределения, равна вероятности того, что СВ примет значения из интервала x₁–x₂:

В прикладных задачах вместо полного определения СВ в виде законов распределения вероятностей определяют числовые характеристики – числа, выражающие характерные особенности СВ, называемые моментами случайной величины.

Начальный момент первого порядка (k=1) называется математическим ожиданием (средним значением) СВ. Для НСВ математическое ожидание выражается интегралом:

Чаще, чем начальные моменты, применяются центральные моменты. Центральный момент k-того порядка для НСВ.

Второй центральный момент называется дисперсией.

Дисперсией СВ называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т. е.:

Для Непрерывной СВ :

Корень квадратный из второго центрального момента называется среднеквадратичным отклонением:

Практически все СВ в производстве строительных материалов подчиняются нормальному закону распределения с параметрами – среднее значение и S – среднеквадратическое отклонение (закон распределения Гаусса).

Плотность распределения имеет вид:

Нормальный закон распределения широко используется при обработке результатов наблюдений, также его можно использовать для нахождения доли несоответствующих показателей или доли брака В. Если на показатель качества накладывается ограничение x_ст, регламентированное стандартом, то относительную долю дефектной продукции (брака) можно рассчитать по показателю качества:

С использованием значения P_k по специальным таблицам находят значение доли брака.