20. Генеральная совокупность, выборка. Статист. Оценки. Проверка статист. Гипотез.

Множество значений случайной величины, полученных в результате эксперимента или наблюдений над объектом исследования, представляет собой статистическую совокупность. Данная совокупность, содержащая в себе все возможные значения случайной величины, называется генеральной статистической совокупностью. Выборочной статистической совокупностью называется совокупность, в которой содержится только некоторая часть элементов генеральной. По результатам экспериментов практически всегда встречаются с выборочной, а не с генеральной совокупностью. Выборочную статистическую совокупность будем в дальнейшем называть выборкой, а число опытов (наблюдений) п, содержащееся в выборке, – объемом выборки.

При повторении опытов в одинаковых условиях обычно обнаруживается закономерность в частоте появления тех или иных результатов.

Перенос знаний от выборочной совокупности к генеральной может быть осуществлен лишь с некоторой вероятностью P{Θ}, т.е. суждение о генеральной совокупности носит вероятностный характер и содержит элемент риска (1-P{Θ}). Суждения о свойствах генеральной совокупности называются статистическими гипотезами. Их проверка осуществляется с помощью статистических критериев, назначаемых в зависимости от формулировки гипотезы H.

Основная выдвинутая гипотеза называется нуль-гипотеза (H₀). Противоречащие ей гипотезы H_i называют альтернативными, или конкурирующими.

Нуль-гипотеза Н₀: между обеими выборками нет существенной разницы, обе они принадлежат одной генеральной совокупности, а имеющиеся различия обусловлены случайным характером выборок, например, влиянием случайных ошибок. В этом случае любые оценки, рассчитанные по этим двум выборкам, будут оценками одних и тех же генеральных (истинных) значений; тогда в большинстве случаев имеет смысл объединить обе выборки в одну, увеличив тем самым число степеней свободы.

Противоположная, или альтернативная гипотеза H₁ различия объясняются не случайностью, а существом дела. Выборки относятся к разным генеральным совокупностям. Поскольку проверка гипотез ведется по выборке, то могут возникнуть ошибки двух родов. Если будет отвергнута правильная гипотеза, то совершается ошибка первого рода, если будет допущена неправильная гипотеза, то совершается ошибка второго рода.

Вероятность допустить ошибку первого рода называется уровнем значимости и обозначается α. Область, отвечающая вероятности α, называется критической, а дополняющая ее область, вероятность попадания в некоторую P{Θ_α}=1-α, называется областью правдоподобных статистических критериев Cr.

Вероятность ошибки второго рода обозначается β, а величина P{Θ_β}=1-β называется мощностью критерия. Чем больше эта мощность, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода.

В задачах статистического моделирования обычно устанавливают некоторое значение α, и статистический критерий Cr выбирают так, чтобы минимизировать β.

Обычная процедура проверки гипотез заключается в следующем: 1) по выборочным данным рассчитывается критерий проверки; 2) полученное значение критерия сравнивают с критическим значением, находимым из таблиц. Критическое значение каждого конкретного критерия определяется уровнем значимости и числом степеней свободы, по которому были рассчитаны величины, входящие в критерий.

Таблицы критических значений имеются в многочисленных книгах по статистике и

теории эксперимента.