Раздел 3. Аксиоматика теории вероятностей

3.1 σ -алгебра событий

Пусть Ω — пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (то есть, вообще говоря, множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств Ω, которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определенную только на множестве событий.

То есть событиями мы будем называть не любые подмножества Ω, а лишь подмножества из некоторого «множества подмножеств» Ψ. При этом необходимо позаботиться, чтобы это множество Ψ подмножеств Ω было «замкнуто» относительно введенных в параграфе 1.2 операций над событиями, то есть чтобы объединение, пересечение, дополнение событий (то есть элементов Ψ) снова давало событие (то есть элемент Ψ ).

Определение 10. Множество Ψ, состоящее из подмножеств множества Ω, (не обязательно всех!) называется σ - алгеброй событий, или σ – алгеброй подмножеств Ω, если выполнены следующие условия:

(A1) Ω  Ψ (σ -алгебра событий содержит достоверное событие);

(A2) если , то (вместе с любым событием σ -алгебра содержит противоположное событие);

(A3) если А₁, А₂…  Ψ, то

(вместе с любым конечным или счетным набором событий σ -алгебра содержит их объединение).

Условия (A1)–(A3) часто называют «аксиомами σ - алгебры».

Проверим, что этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества Ψ относительно других операций над событиями.

Вместо первой аксиомы достаточно предположить, что Ψ не пусто, т.е. содержит хоть один элемент.

Свойство 1.   Ψ (σ -алгебра событий содержит невозможное событие).

Доказательство. По (A1), Ω  Ψ, но  = Ω/ Ω = ¬ Ω  Ψ в силу (A2).

Свойство 2. При выполнении (A1),(A2) свойство (A3) эквивалентно свойству (A4)

(A4) если А₁, А₂…  Ψ, то

(вместе с любым конечным или счетным набором событий σ -алгебра содержит их пересечение).

Доказательство. Докажем, что при выполнении (A1),(A2) из (A3) следует (A4).

Если А₁, А₂…  Ψ, то при всех i = 1, 2,… по свойству (A2) выполнено

Тогда из (A3) следует, что

и, по (A2), дополнение к этому множеству также принадлежит Ψ, то есть

Но, в силу формул двойственности,

Доказательство в обратную сторону выглядит совершенно аналогично.

Свойство 3. Если А, В Ψ , то А\ В Ψ

Пример 12. Пусть Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}— пространство элементарных исходов (например, при бросании игрального кубика). Следующие наборы подмножеств Ω являются σ -алгебрами (доказать!):

1. Ψ = { Ω , } ={ {1, 2, 3, 4, 5, 6}, }— тривиальная σ -алгебра.

2. Ψ = { Ω , ,{1},¬{1}} ={ {1, 2, 3, 4, 5, 6},,{1},{2, 3, 4, 5, 6} }.

3. Ψ = { Ω , A,¬A} ={ {1, 2, 3, 4, 5, 6},, A,¬A }., где A — произвольное подмножество Ω (в предыдущем примере A ={1} ).

Итак, мы определили специальный класс Ψ подмножеств пространства элементарных исходов Ω, названный σ -алгеброй событий, причем применение счетного числа любых операций (таких, как объединение, пересечение, дополнение) к множествам из Ψ снова дает множество из Ψ (не выводит за рамки этого класса). Множества А Ψ мы и назвали «событиями».

Определим теперь понятие «вероятности» как функции, определенной на множестве событий (то есть функции, которая каждому событию ставит в соответствие число). А чтобы читателю сразу стало понятно, о чем пойдет речь, добавим: вероятность мы определим как неотрицательную нормированную меру, заданную на σ -алгебре Ψ подмножеств Ω.