Гипергеометрическое распределение

Пример 7.

И з урны, в которой n₁ белых и n -n₁ чёрных шаров, наудачу, без возвращения вынимают k шаров, k<n. Термин «наудачу» означает, что появление любого набора из k шаров равно возможно. Найти вероятность того, что будет выбрано ровно k₁ белых и k - k₁ чёрных шаров.

Заметим, что при k₁ > n₁ или k - k₁ > n - n₁ искомая вероятность равна 0, так как соответствующее событие невозможно. Пусть k₁ < n₁ и k - k₁ < n - n₁. Результатом эксперимента является набор из k шаров. При этом можно не учитывать или учитывать порядок следования шаров.

1. Выбор без учета порядка. Общее число элементарных исходов есть число k –элементных подмножеств множества, состоящего из n элементов, то есть (по теореме 3).

Обозначим через A событие, вероятность которого требуется найти. Событию A благоприятствует появление любого набора, содержащего k₁ белых шаров и k - k₁ черных.

Число благоприятных исходов равно произведению (по теореме 1) числа способов выбрать k₁ белых шаров из n₁ и числа способов выбрать k - k₁ черных шаров из n - n₁:

В ероятность события A равна:

2. Выбор с учетом порядка. Общее число элементарных исходов есть число способов разместить n элементов на k местах (по теореме 2).

П ри подсчете числа благоприятных исходов нужно учесть, как число способов выбрать нужное число шаров, так и число способов расположить эти шары среди k. Можно, скажем, посчитать число способов выбрать k₁ мест среди k (равное ), затем число способов разместить на этих k₁ местах n₁ белых шаров (равное — не забывайте про учет порядка!), и затем число способов разместить на оставшихся k - k₁ местах n - n₁ черных шаров (равное ). Перемножив эти числа, получим:

В рассмотренной задаче мы сопоставили каждому набору из k₁ белых и k-k₁черных шаров вероятность получить этот набор при выборе k шаров из урны, содержащей n₁белых и n-n₁черных шаров:

О пределение 8. Соответствие или следующий набор вероятностей

Называется гипергеометрическим распределением.

Раздел 2. Геометрическая вероятность

2.1 Что это такое

Р ассмотрим какую-нибудь область Ω в R^m ,(на прямой, на плоскости, в пространстве). Предположим, что «мера» Ω (длина, площадь, объем, соответственно) конечна. Пусть случайный эксперимент состоит в том, что мы наудачу бросаем в эту область точку а. Термин «наудачу» здесь означает, что вероятность попадания точки в любую часть А  Ω не зависит от формы или расположения А внутри Ω, а зависит лишь от «меры» области.

О пределение 9. Эксперимент удовлетворяет условиям «геометрического определения вероятности», если его исходы можно изобразить точками некоторой области Ω в R^m так, что вероятность попадания точки в любую А  Ω не зависит от формы или расположения А внутри Ω, а зависит лишь от меры области А (и, следовательно, пропорциональна этой мере):

«Мерой» мы пока будем называть длину, площадь, объем и т.д.

Если для точки, брошенной в область Ω, выполнены условия геометрического определения вероятности, то говорят, что точка равномерно распределена в области Ω.

Пример 8. Точка наудачу бросается на отрезок [0,1]. Вероятность точке попасть в точку {0,5} равна нулю, так как мера множества, состоящего из одной точки («длина точки»), есть 0. Вместе с тем попадание в точку {0,5} не является невозможным событием — это один из элементарных исходов эксперимента.