14.2 Слабая сходимость
Пусть задана последовательность с. в.
,
задано некоторое распределение
с
функцией распределения
и
—
произвольная с. в., имеющая распределение
.
Определение
50. Говорят, что последовательность
с. в.
при
сходится
слабо или по распределению к с.
в.
,
или говорят, что последовательность с.
в. слабо сходится к распределению
,
или говорят, что распределения с.в.
слабо сходится к распределению
,
и пишут:,
или
,
или
,
если для любого х такого, что функция
распределения
непрерывна в точке х,
имеет место сходимость
при
.
Иначе говоря, слабая сходимость — это поточечная сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.
Свойство
15. Если
,
и функция распределения
непрерывна в точках a
и b, то
Наоборот, если во всех точках a
и b
непрерывности функции распределения
имеет место, например, сходимость
,
то
.
Следующее важное свойство уточняет отношения между сходимостями.
Свойство 16.
1. Если
,
то
.
2. Если
= const, то
.
Доказательство.Докажем, что слабая сходимость к постоянной влечет сходимость по вероятности.
Пусть
при любом x, являющемся
точкой непрерывности предельной функции
,
то есть при всех
.
Возьмем произвольное
и докажем, что
.
Раскроем модуль:
(сужаем событие под знаком вероятности)
поскольку
в точках
функция
непрерывна, и, следовательно, имеет
место сходимость последовательности
к
Осталось заметить, что
не бывает больше 1, так что по лемме о
двух милиционерах
.
Следующее свойство приводит пример операций, которые можно применять к слабо сходящимся последовательностям — скажем, домножать их на последовательности, сходящиеся по вероятности к постоянным величинам.
Свойство 17.
1. Если
const и
,
то
.
2. Если
const и
,
то
.
Несколько содержательных примеров слабой сходимости мы рассмотрим в следующей главе. Но основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно мощное и универсальное средство для асимптотического анализа распределения сумм независимых и одинаково распределенных случайных величин предоставляет нам ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
14.3 Центральная предельная теорема
Мы будем называть следующее утверждение «ЦПТ А. М. Ляпунова» (1901), но сформулируем теорему Ляпунова только в частном случае — для последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин.
Теорема 31 (ЦПТ).
Пусть
— независимые и одинаково распределенные
случайные величины с конечной и ненулевой
дисперсией:
.
Обозначим через
сумму
первых n
случайных величин. Тогда последовательность
с. в.
слабо сходится к стандартному нормальному
распределению.
Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости, и заметив, что функция распределения любого нормального закона непрерывна всюду на R, утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов:
Следствие 18. Пусть — независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг другу и равносильны утверждению ЦПТ.
Для любых вещественных x < y при имеет место сходимость
Для любых вещественных x < y при имеет место сходимость
Для любых вещественных x < y при имеет место сходимость
Если
— произвольная с. в. со стандартным
нормальным распределением, то
Замечание 19. Еще раз напомним, что функция распределения стандартного нормального закона ищется либо по соответствующей таблице в справочнике, либо с помощью какого-либо программного обеспечения, но никак не путем нахождения первообразной.