Раздел 13. Куда и как сходятся последовательности случайных величин

13.1 Сходимость «почти наверное» и «по вероятности»

Напомню, что случайная величина есть (измеримая) функция из некоторого абстрактного множества Ω в множество действительных чисел. Последовательность случайных величин есть, тем самым, последовательность функций (определенных на одном и том же пространстве элементарных исходов Ω). И если мы хотим говорить о сходимости последовательности случайных величин {ξ_n }^_n=1 , не будем забывать, что мы имеем дело не с последовательностью чисел, а с последовательностью функций. Существуют разные виды сходимости последовательности функций. Всякий раз давать определение какой-либо сходимости мы будем, опираясь на сходимость числовых последовательностей, как на уже известное основное понятие.

В частности, при каждом новом ω  Ω мы имеем новую числовую последовательность {ξ_n (ω )}^_n=1 . Поэтому, во-первых, можно говорить о знакомой из математического анализа (почти) поточечной сходимости последовательностей функций: о сходимости «почти всюду», которую в теории вероятностей называют сходимостью «почти наверное».

Определение 46. Говорят, что последовательность с. в. {ξ_n } сходится почти наверное к с. в. ξ при n   , и пишут: ξ_n  ξ п. н., если P{ ω: ξ_n (ω )  ξ при n  } = 1.

Иначе говоря, если ξ_n (ω )  ξ при n   для всех ω  Ω, кроме, возможно, ω  A, где множество (событие) A имеет нулевую вероятность.

Заметим сразу: чтобы говорить о сходимости «почти наверное», требуется (по крайней мере, по определению) знать, как устроены отображения ω  ξ_n (ω ). В задачах же теории вероятностей, как правило, известны не сами случайные величины, а лишь их распределения. Известно, то есть, какова вероятность тех элементарных исходов ω, для которых ξ_n (ω ) принимает значения в заданном множестве. Можем ли мы, обладая только информацией о распределениях, говорить о какой-либо сходимости последовательности случайных величин {ξ_n } к с. в. ξ?

Можно, например, потребовать, чтобы вероятность («доля») тех элементарных исходов ω, для которых ξ_n (ω ) не попадает в «ε-окрестность» числа ξ (ω ), уменьшалась до нуля с ростом n. Такая сходимость в функциональном анализе называется сходимостью «по мере», а в теории вероятностей — сходимостью «по вероятности».

Определение 47. Говорят, что последовательность с. в. { ξ_n } сходятся по вероятности к с. в. ξ при n  , и пишут:

если для любого ε > 0

Пример 45. Рассмотрим последовательность с. в. ξ₁ , ξ₂, …, в которой все величины имеют разные распределения: с. в. ξ_n, n > 0, принимает значения и 0 и n⁷ с вероятностями . Докажем, что эта последовательность сходится по вероятности к случайной величине, равной нулю п. н. (к нулю, проще говоря).

Действительно, зафиксируем произвольное ε > 0. Для всех n начиная с некоторого n₀ такого, что n₀⁷ > ε верно равенство (*) ниже

Итак, случайные величины ξ_n с ростом n могут принимать все большие и большие значения, но со все меньшей и меньшей вероятностью.

Замечание 18. Сходимость по вероятности не обязательно сопровождается сходимостью математических ожиданий или моментов других порядков: из не следует, что

Действительно, в примере 45 имеет место сходимость , но неверно, что

Если вместо значения n⁷ взять, скажем, n (с той же вероятностью 1/ n), получим

А если ξ_n принимает значения 0 и с теми же вероятностями, что и в примере 45, то , но уже вторые моменты сходиться ко второму моменту ξ не будут:

Сходимость по вероятности обладает обычными для сходимостей свойствами. Например, такими.

Свойство 13. Если , то

1. ;

2. .

Свойство 14.

Если , и g – непрерывная функция, то

Если , и g – непрерывна в точке с, то

Чтобы доказывать сходимость по вероятности, можно просто уметь вычислять при больших n. Но для этого нужно знать распределение ξ_n, что не всегда возможно. Скажем, ξ_n может быть суммой нескольких других с. в., распределения которых не устойчивы по суммированию, и вычислить распределение их суммы по формуле свертки или как-то еще бывает слишком сложно.

Если бы мы имели неравенства, позволяющие оценить сверху чем-либо, что мы умеем устремлять к нулю и что проще вычисляется, то сходимость по вероятности мы получили бы по лемме о двух милиционерах: . Итак, неравенства П. Л. Чебышёва.