Раздел 12. Числовые характеристики зависимости случайных величин

12.1 Чем отличается дисперсия суммы от суммы дисперсий?

Мы знаем, что для независимых с. в. с конечными вторыми моментами дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий. Чему равна дисперсия суммы в общем случае?

(10)

Величина E(ξη) - Eξ Eη равняется нулю, если случайные величины ξ и η независимы (свойство E6 математического ожидания). С другой стороны, из равенства ее нулю вовсе не следует независимость, как показывает пример 30. Оказывается, что эту величину часто используют как «индикатор наличия зависимости» пары с. в.

Определение 41. Ковариацией cov(ξ, η) случайных величин ξ и η называется число

Свойство 10.

Свойство 11.

1. ;

2. .

Свойство 12. Дисперсия суммы нескольких случайных величин вычисляется по любой из следующих формул:

Обсудим достоинства и недостатки ковариации, как величины, характеризующей зависимость двух с. в.

1. Если ковариация cov(ξ, η) отлична от нуля, то величины ξ и η зависимы!

2. С гарантией о наличии зависимости мы можем судить, если знаем совместное распределение пары ξ и η, и можем проверить, равна ли (например) плотность совместного распределения произведению плотностей.

Но найти совместное распределение часто бывает сложнее, чем посчитать математическое ожидание произведения ξ и η. Если нам повезет, и математическое ожидание произведения ξ и η не будет равняться произведению их мат. ожиданий, мы скажем, что ξ и η зависимы не находя их совместного распределения!

Пример 41. Покажем, что с помощью ковариации можно судить о зависимости даже когда для вычисления совместного распределения недостаточно данных.

Пусть ξ и η — независимые случайные величины, и дисперсия ξ отлична от нуля. Докажем, что ξ и ξ+ η зависимы.

(11)

Поэтому

Следовательно, ξ и ξ+ η зависимы.

3. Жаль, что величина cov(ξ, η) не является «безразмерной»: если ξ – объем газа в сосуде, а η – давление этого газа, то ковариация измеряется в кубометрах х Паскали :).

Иначе говоря, при умножении одной из величин ξ, η на какое-нибудь число ковариация тоже умножается на это число. Но умножение на число не сказывается на «степени зависимости» величин (они от этого «более зависимыми» не становятся), так что большое значение ковариации не означает более сильной зависимости.

Нужно как-то нормировать ковариацию, получив из нее «безразмерную» величину, абсолютное значение которой

а) не менялось бы при умножении или сдвиге случайных величин на число;

б) свидетельствовало бы о «силе зависимости» с. в.

Говря о «силе» зависимости между с.в., мы имеем в виду следующее. Самая сильная зависимость – функциональная, а из функциональных – линейная зависимость, когда ξ= аη + b п.н. Бывают гораздо более слабые зависимости. Так, если по последовательности независимых случайных величин ξ₁ ξ₂ … построить ξ = ξ₁ +…ξ₂₄ + ξ₂₅ η = ξ₂₅ +ξ₂₆ + …+ξ₉₀ , то эти величины зависимы, но очень “слабо зависимы”: через одно-единственное общее слагаемое ξ₂₅ .

Итак, следующая величина есть всего лишь ковариация, нормированная нужным образом.

12.2 Коэффициент корреляции

Определение 43. Коэффициентом корреляции ρ(ξ, η) случайных величин ξ, η, дисперсии которых существуют и отличны от нуля, называется число

Пример 42. Рассмотрим продолжение примера 41, но пусть ξ и η будут не только независимыми, но и одинаково распределенными случайными величинами, и их дисперсия отлична от нуля. Найдем коэффициент корреляции величин ξ и ξ + η. Согласно формуле (10),

Поэтому

Определение 44. Случайные величины ξ и η называют некоррелированными, если cov(ξ, η) = 0 (или если ρ(ξ, η) = 0, — в том случае, когда коэффициент корреляции существует).

Замечание 17. Если одна из величин ξ и η — постоянная, то эти величины независимы, и cov (ξ, η) = 0. Естественно в этом случае тоже полагать, что ξ и η «некоррелированы», хотя коэффициент корреляции не определен (дисперсия постоянной равна 0).