Прочие полезные свойства функций распределения

F4) В любой точке х₀ разница F_ξ(х₀+0) - F_ξ(х₀) равна P(ξ = х₀):

Следствие 3. Если функция распределения F_ξ(x) непрерывна в точке х₀, то

P(ξ = х₀) = 0

F5) Для любой случайной величины ξ имеет место равенство P(а  ξ < b) = F_ξ(a) - F_ξ(b).

Если же функция распределения F_ξ(x) непрерывна (для любого x, или только в точках a и b), то

P(а  ξ < b) = P(а < ξ < b) = P(а  ξ  b) = P(а < ξ  b) = F_ξ(a) - F_ξ(b)

Функция распределения дискретного распределения

Мы уже видели, как выглядят функции распределения некоторых дискретных распределений. Из свойств (F4), (F5) следует

Свойство 4. Случайная величина ξ имеет дискретное распределение тогда и только тогда, когда функция распределения F_ξ — ступенчатая функция. При этом возможные значения ξ — точки a_i скачков F_ξ, и

p_i = P(ξ = a_i ) = F_ξ (a_i + 0) - F_ξ (a_i )— величины скачков.

В следующей главе мы рассмотрим случайные величины, функции распределения которых не удовлетворяют свойству 4 хотя бы потому, что они вовсе не имеют разрывов. Более того, мы выделим класс функций распределения, которые «восстанавливаются по своей производной» с помощью интегрирования (так называемые абсолютно непрерывные функции).

Раздел 8. Абсолютно непрерывные распределения

Определение 28.Случайная величина ξ имеет называемые абсолютно непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция f_ξ(x) такая, что для любого х  R функция распределения F_ξ(x) представима в виде

При этом функция f_ξ(x) называется плотностью распределения случайной величины ξ.

Теорема 21.Плотность распределения обладает свойствами:

(f1) f_ξ(x) 0 для любого x;

(f2)

Эти два свойства полностью характеризуют класс плотностей:

Лемма 2. Если функция f обладает свойствами (f1) и (f2), то существует вероятностное пространство и случайная величина ξ на нем, для которой f является плотностью распределения.

Доказательство. Пусть Ω есть область, заключенная между осью абсцисс и графиком функции f (« подграфик» функции f). Площадь области Ω равна 1 по свойству (f2). И пусть случайная величина ξ есть абсцисса точки, наудачу брошенной в эту область.

Тогда (вспомнить геометрическую вероятность) для любого х  R

т о есть f является плотностью распределения случайной величины ξ

Свойства плотностей

(f3) Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, то ее функция распределения всюду непрерывна.

Следствие 4. Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, то P(ξ = х) = 0 для любого х  R.

(f4) Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, то ее функция распределения дифференцируема почти всюду, и

для почти всех х.

Замечание 12. Термин для «почти всех» означает «для всех, кроме (возможно) х из некоторого множества нулевой меры (длины)». Заметьте, что стоящую под интегралом функцию можно изменить в одной точке (или на множестве нулевой длины), и интеграл (« площадь подграфика») от этого не изменится.

(f5) Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, то

Доказательство. Действительно,

Остальные равенства вытекают из следствия 5.

8.1 Примеры абсолютно непрерывных распределений

Равномерное.

Это распределение нам уже знакомо. Говорят, что ξ имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], и пишут ξ  U_a,b если

Заметьте, что в точках a и b функция распределения недифференцируема, и плотность можно задать как угодно.

Показательное.

Говорят, что ξ имеет показательное распределение с параметром α, α > 0 и ξ  Е_α, если

Показательное распределение является единственным абсолютно непрерывным распределением, для которого выполнено свойство «не старения» (и в этом смысле оно является непрерывным аналогом дискретного геометрического распределения).

Теорема 21. Свойство «Не старения». Пусть ξ  Е_α. Тогда для любых х, у > 0

Нормальное.

Г оворят, что ξ имеет нормальное распределение с параметрами а и σ² , где а  R, σ > 0, и пишут ξ  если ξ имеет следующую плотность распределения:

для любого x  R

Убедимся, что f_ξ(x)действительно является плотностью распределения. Так как f_ξ(x) > 0 для всех x  R, то свойство (f1) выполнено. Проверим выполнение (f2). Используем табличный интеграл (интеграл Пуассона)

Нормальное (иначе называемое гауссовским по имени Карла Гаусса распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей, поэтому мы очень подробно изучим все свойства этого распределения.