Гипергеометрическое распределение.

Говорят, что случайная величина ξ имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, N и K, K  N, n  N если ξ принимает целые значения от max (0, N - K – n ) до min (K ,n ) с вероятностями

. Случайная величина ξ с таким распределением имеет смысл числа белых шаров среди n шаров выбранных наудачу и без возвращения из урны, содержащей К белых шаров и N-K не белых.

Заметьте, что со всеми этими распределениями мы уже хорошо знакомы.

Но распределения случайных величин далеко не исчерпываются дискретными распределениями. Так, например, если точка бросается наудачу на отрезок [0,1], то можно задать случайную величину, равную координате этой точки. Но число значений этой случайной величины несчетно, так что ее распределение дискретным не является. Да и вероятность этой случайной величине принять каждое из своих возможных значений (попасть в точку) равна нулю. Так что не только таблица распределения не существует, но и соответствие «значение величины  вероятность его принять» ничего не говорит о распределении случайной величины.

Какими же характеристиками еще можно описать распределение?

Раздел 7. Функция распределения

Заметим, что на том же отрезке [0, 1] вероятности попадания в множества положительной меры совсем не нулевые. И термин «наудачу» мы когда-то описывали как раз в терминах вероятностей попадания в множество. Может быть, разумно описать распределение случайной величины, задав для любого множества, вероятность принять значения из этого множества? Это действительно полное описание распределения, но уж очень трудно с ней работать — слишком много множеств на прямой.

Нельзя ли обойтись заданием вероятностей попадания в какой-нибудь меньший набор множеств на прямой? Оказывается, что можно ограничиться только вероятностями попадания в интервалы (-, х) для всех х  R, с помощью которых можно будет определить и вероятность попасть в любое другое множество.

Замечание 11. Можно с таким же успехом ограничиться набором вероятностей попадания в интервалы (-, х], или в (х ,), или в [х ,), или в (х₁ ,x₂). Впрочем, последних уже слишком много.

Определение 27.Функцией распределения случайной величины ξ называется функция F_ξ(x) : R  [0, 1], при каждом x  R равная F_ξ(x) = P(ξ < x) = P{ω: ξ(ω) < x}

Пример 22. Случайная величина ξ имеет вырожденное распределение I_c. Тогда

Пример 23. Случайная величина ξ имеет распределение Бернулли В_р. Тогда

Пример 24. Будем говорить, что случайная величина ξ имеет равномерное распределение на отрезке [a, b] и писать ξ  U_a,b (“ uniform”), если ξ — координата точки, брошенной наудачу на отрезок [a, b] числовой прямой. Это распределение можно задать и с помощью функции распределения:

7.1 Свойства функции распределения

Теорема 19.

Функция распределения F_ξ(x) обладает следующими свойствами:

F1) Функция распределения F_ξ(x) не убывает: если х₁ < x₂ то F_ξ(x₁)< F_ξ(x₂);

F2) Существуют пределы

и

F3) Функция распределения F_ξ(x) непрерывна слева:

Теорема 20. Если функция F: R  [0, 1] удовлетворяет свойствам (F1)–(F3), то F есть функция распределения некоторой случайной величины ξ, то есть найдется вероятностное пространство (Ω, Ψ, Р) и случайная величина ξ на этом пространстве, что F(х) = F_ξ(x).