6.2 Дискретные распределения

Определение 25. Говорят, что случайная величина ξ имеет дискретное распределение, если существует конечный или счетный набор чисел {a₁, a₂, …} такой, что:

а) p_i = P{ ξ = a_i} > 0 для всех i;

б) .

То есть случайная величина ξ имеет дискретное распределение, если она принимает не более чем счетное число значений.

Определение 26. Если случайная величина ξ имеет дискретное распределение, назовем таблицей распределения соответствие a_i ↔ p_i, которое чаще всего рисуют так:

ξ	а1	а2	а3	…
Р	р1	р2	р3	…

6.3 Примеры дискретных распределений Вырожденное распределение.

Говорят, что случайная величина ξ имеет вырожденное распределение с параметром а, и пишут ξ  I_a если ξ принимает единственное значение а с вероятностью 1, то есть P(ξ = a) = 1. Таблица распределения ξ имеет вид

ξ	а
Р	1

Распределение Бернулли.

Говорят, что случайная величина ξ имеет распределение Бернулли с параметром р, и пишут ξ  В_р, если ξ принимает значения 1 и 0 с вероятностями р и 1 - р, соответственно. Случайная величина ξ с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха (0 успехов или 1 успех). Таблица распределения ξ имеет вид

ξ	0	1
Р	(1-p)	Р

Биномиальное распределение.

Говорят, что случайная величина ξ имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, где 0  p , n и пишут ξ  В_n,р, если ξ принимает значения 0, 1, …,n с вероятностями P(ξ = k) = C_n^k p^k (1-p)^n-k . Случайная величина ξ с таким распределением имеет смысл числа успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха р .

Таблица распределения ξ имеет вид

ξ	0	1	…	k	…	n
Р	(1-p)n	n p(1-p)n-1	…	Cnk pk (1-p)n-k	…	Pn

Геометрическое распределение.

Говорят, что случайная величина τ имеет геометрическое распределение с параметром р, где 0  p , n, и пишут τ  G_р, если τ принимает значения 1, 2, 3, …с вероятностями P(τ = k) = p (1-p)^k-1. Случайная величина τ с таким распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха р .

Таблица распределения τ имеет вид

τ	1	2	…	k	…
Р	p	Р (1 – р)	…	p (1-p)k-1	…

Распределение Пуассона.

Говорят, что случайная величина ξ имеет распределение Пуассона с параметром λ, где λ > 0 , и ξ  П _λ, если ξ принимает значения 0, 1, 2 … с вероятностями

Таблица распределения ξ имеет вид

ξ	1	2	…	k	…
Р	е- λ	λ е- λ	…	(λk /k!)е- λ	…