5.6 Теорема Пуассона для схемы Бернулли

Предположим, нам нужна вероятность получить не менее десяти успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0.003. Вероятность этого события равна любому из следующих выражений:

и вычисление даже одного слагаемого в каждом из этих выражений весьма проблематично.

Сформулируем теорему о приближенном вычислении вероятности какого-либо числа успехов в большом числе испытаний схемы Бернулли с маленькой вероятностью успеха. Термин «большое число» должен означать n → ∞. Если при этом p = p_n→ 0,то, очевидно, вероятность получить любое конечное число успехов при растущем числе испытаний стремится к нулю. Необходимо чтобы вероятность успеха p = p_n→ 0 одновременно с ростом числа испытаний. Но от испытания к испытанию вероятность успеха меняться не может (см. определение схемы Бернулли).

Поэтому рассмотрим «схему серий»: есть

одно испытание ○ с вероятностью успеха p₁

два испытания ○ , ○ с вероятностью успеха p₂

…

n испытаний ○ , … , ○ с вероятностью успеха p_n

…

Вероятность успеха меняется не внутри одной серии испытаний, а от серии к серии, когда меняется общее число испытаний. Обозначим через v_n число успехов в n-той серии испытаний.

Теорема 17 (Теорема Пуассона).

Пусть n → ∞ , p_n→ 0 так, что n p_n→ λ > 0. Тогда для любого k ≥ 0 вероятность получить k успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p_n стремится к величине

(5)

для n → ∞ , p_n→ 0 так, что n p_n→ λ

Определение 22. Пусть λ > 0— некоторая постоянная. Набор чисел называется распределением Пуассона с параметром λ.

Пользуясь теоремой 17, можно приближенно посчитать вероятность получить не менее десяти успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0.003, с вычисления которой мы начали. Поскольку n = 1000 «велико», а p_n = 0.003 «мало», то, взяв λ = n p_n= 3 , можно написать приближенное равенство

(6)

Осталось решить, а достаточно ли n=10³ «велико», а p_n = 0.003 «мало», чтобы заменить точную вероятность P(v_n = k) на приближенное значение

Для этого нужно уметь оценивать разницу между этими двумя вероятностями.

Теорема 18 (Теорема Пуассона с оценкой погрешности).

Пусть A  {0, 1, …, n} — произвольное множество целых неотрицательных чисел, v_n — число успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p, λ = n p. Тогда

Таким образом, теорема 18 предоставляет нам возможность самим решать, достаточно ли n «велико», а p «мало», руководствуясь полученной величиной погрешности.

Какова же погрешность в формуле (6)?

Погрешность не более 0,009 (при вероятности около 0,001). Во всяком случае, можно утверждать, что искомая вероятность никак не больше, чем 0,01=0,001+0,009.

Рассмотрим еще одну формулу приближенного вычисления p_n (m) когда n велико. В отличии от предыдущего результата число успехов m в этом случае тоже растет с ростом n, а вероятность успеха постоянна.

Локальная теорема Муавра – Лапласа

Пусть .Предположим, что и величины являются ограниченными. Тогда