Вопрос 2.

Вынужденные колебания под действием гармонической внешней силы. Процесс установления колебаний. Амплитудно-частотные и фазо-частотные кривые. Резонанс.

Вынужденные колебания под действием гармонической внешней силы. Если на систему постоянно действует постоянно меняющаяся внешняя, зависящая от времени сила, то такие колебания наз. вынужденными.

mx``=-Dx-x`+F₀cost

x``+2x`+₀²x=(F₀/m)cost

Процесс установления колебаний

Каковы бы ни были условия в момент начала действия внешней силы, осциллятор будет совершать одни и те же установившиеся гармонические колебания. Процесс установления колебаний называется переходным режимом. Он происходит потому, что с течением времени затухнут собственные колебания. Время установления колебаний определяется временем затухания колебаний, которые имелись в момент начала действия силы -  = 1/. Даже если начальных колебаний не было, то все равно время установления будет тем же.

a) малые частоты: ₀, ₀А=(F₀/m)sint, A(t)=( F₀/m ₀²)sint =( F₀/k) sint

б) большие частоты: ₀, Ä(F₀/m)sint, А=(F₀/m²)sin(t-)

в) резонанс: ₀: Рассмотрим подробнее именно этот режим. С этой целью пе­репишем уравнение в комплексном виде:

(12.29)

а его частное решение будем искать в виде

(t)=A . (12.30)

Реальная часть этого решения будет решением уравнения (12.27)(вместо в 12.29. cos wt) Подставляя (12.30) в (12.29), получаем

Из условия стационарности решения (независимости его от вре­мени) следует, что =, откуда

A есть комплексное число, которое удобно представить в экспоненциальном виде A=x+iY=Ao . Тогда модуль А будет Aо= , а его фаза tg=Y/X. .Получаем

, tg  = (2)/(₀²-²).

АЧХ и ФЧХ. Резонанс.

АЧХ-кривая,описывающая зависимость амплитуды вынужденных установившихся колебаний от частоты внешней силы.

ФЧХ-то же для разности фаз вынужденных колебаний и внешней силы. резонанс: ₀

А=А₀sin(₀t+)

Ä+₀²A=0

2Á=(F₀/m)sin₀t

A=(F₀/2m₀)sin(t-/2)

A₀=F₀/2m₀=( F₀/m₀²)*(₀/2)=(F₀/k)*Q

tg  = (2)/(₀²-²)

(₀-)/  1

(₀²-²)² = (₀-)²*(₀₊)² ; ₀₊ ≈ 2ω ; 4γ²ω² ≈ 4γ²ω₀²

– Формула Лоренца

∆ω = 2δ=ω₀/Q - ширина резонансной кривой.

 — дектремент затухания.

(ω₀²-²)^1/2.

Билет 17.

Вопрос 1.

Движение тела с одной закреплённой точкой. Регулярная прецессия свободного симметричного волчка.

Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. В этом случае тело имеет три степени свободы – начала систем XYZ и x 0 y 0 z 0 , введенных в начале лекции, можно совместить с точкой закрепления, а для описания движения тела использовать три угла Эйлера: =(t), =(t), =(t).

Д ля твердого тела с одной неподвижной точкой справедлива теорема Эйлера: твердое тело, закрепленное в одной точке, может быть переведено из одного положения в любое другое одним поворотом на некотjрый угол вокруг неподвижной оси, проходящей через точку закрепления. Cледствие из этой теоремы: движение закрепленного в точке твердого тела в каждый момент времени можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку закрепления. Положение этой оси как в пространстве, так и относительно самого тела с течением времени общем случае меняется. Г М положений мгновенной оси вращения относительно неподвижной системы XYZ (или x 0 y 0 z 0 ) – это сложная коническая поверхность с вершиной в точке закрепления. В теоретической механике ее называют неподвижным аксоидом. Г М положений мгновенной оси вращения относительно подвижной системы xyz, жестко связанной с твердым телом, – это тоже коническая поверхность – подвижный аксоид. Линейная скорость произвольной точки твердого тела вокруг мгновенной оси: v=r, где r – радиус-вектор точки относительно начала системы XYZ (или x 0 y 0 z 0 ), совмещенного с точкой закрепления.

Э ти уравнения наз. уравнениями Эйлера. В ряде случаев движение с одной закр. точкой можно представить как суперпозицию 2-х вращений вокруг пересекающихся осей, угловые скорости складываются векторно.

Регулярная прецессия свободного симметричного волчка. Рассмотрим тяжелый симметричный гироскоп, у которого неподвижная точка S (точка опоры о подставку) не совпадает с центром масс О (рис. 4.6). Момент силы тяжести относительно точки S: M=mglsin. Изменение момента импульса L определяется выражением: dL=Mdt. При этом и L, и ось волчка прецессируют вокруг вертикального направления с угловой скоростью . Еще раз подчеркнем: делается допущение, что выполнено условие >> и что L постоянно направлен вдоль оси симметрии гироскопа.

dL=L sindt, dL=L dt  M= dL=L.

Это соотношение позволяет определить направление прецессии при заданном направлении вращения волчка вокруг своей оси. Обратим внимание, что M определяет угловую скорость прецессии, а не угловое ускорение, поэтому мгновенное «выключение» M приводит к мгновенному же исчезновению прецессии, то есть прецессионное движение является безынерционным.

mglsin=J_z sin  =mgl/J_z