1. Математические методы проектирования

2.1. Общие положения

Как уже отмечалось в разделе 1,проектируемая система S должна удовлетворять совокупности исходных данных:

Д=(У, O_s, с. К, _кр. К), (2.1)

где У=(у₁,….,у_р) - совокупность условий работы системы (характеристики полезных сообщений, сигналов, помех, диапазон рабочих температур, давлений, влажности и т.п.);

O_s = (O_s1….O_s2) - совокупность ограничений структуры системы S и значений её параметров (ограничения по массе, габаритам, потребляемой мощности и т.п.)Ограничения структуры могут быть жёсткими и не жёсткими. При нежёстких ограничениях структуры могут содержаться требования частного характера (например: отсутствие ретрансляторов, обратного канала и т.п.) При жёстком ограничении структура системы практически задаётся полностью и в процессе проектирования могут варьироваться лишь значения отдельных параметров.

Ограничения параметров x₁…x_n системы могут быть типа равенств (x_i=x_io),неравенств(x_i≤x_{i max} или x_{i min}≤x_i≤x_{i max}), дискретности, (x_i=_1,2,3…),связи [Ф_i (x₁,…x_n) ≤0] и иного характера.

Вектор К=<k₁,…k_m> включает совокупность всех показателей качества <k₁…k_m>, которые должны учитываться в процессе проектирования. При формулировке исходных данных определяется состав c. К и критерии качества кр. К.

Число таких показателей может составлять несколько десятков или даже более. Однако (особенно на начальных этапах проектирования) во внимание принимают лишь наиболее важные (точность, помехоустойчивость, пропускная способность и т.п.)

Исходные показатели качества k_in(_i=1,m) могут иметь неодинаковые размерности, поэтому их, как правило, нормируют и имеют дело с нормированными показателями

k_i=k_in/k_io, (2.2)

где k_io- некоторое опорное (эталонное) значение показателя.

К показателям качества системы можно отнести любой параметр системы, монотонно связанный с её качеством, т.е. чем меньше (или больше) данный показатель качества k, тем лучше система при прочих равных условиях. Таким образом, все показатели качества можно разбить на две группы:

-монотонно убывающие, т.е. такие, что чем меньше k, тем лучше система (при прочих равных условиях);

-монотонно возрастающие, т.е. такие, что чем больше k, тем лучше система (при прочих равных условиях).

Например масса М, стоимость В, вероятность ошибки Р_ош и средний квадрат ошибки ² являются монотонно убывающими показателями, а пропускная способность С и вероятность безотказной работы-монотонно возрастающими.

Так как вектор К служит для сравнения систем, удобно, чтобы все входящие в его состав показатели имели одинаковый характер, т.е. все были или монотонно возрастающими, или монотонно убывающими.

Поскольку качество системы удобно характеризовать мерой её отклонения от ИДЕАЛЬНОЙ, стараются показатели качества сделать монотонно убывающими (при этом, чем меньше отклонение, тем лучше система).

Не трудно убедиться, что многие монотонно возрастающие показатели качества можно легко преобразовать к монотонно убывающим. Например, неотрицательный исходный показатель качества k_in таков, что он может меняться в пределах

k_{in min} ≤ k_in ≤ k_{in max} (2.3)

и чем больше значение k_in, тем лучше система (при прочих равных условиях). Тогда можно выбрать эквивалентный ему (с точки зрения проектирования) стандартный показатель качества

k_i= k_{in max}- k_in (2.4)

Если k_{in max} ∞, то вместо (2.4) можно полагать

k_i= 1/k_in (2.5)

Пусть, например, k_in= C-пропускная способность системы. У идеальной системы C∞. Поэтому в соответствии с (2.5) следует полагать k₁=1/C.

Пусть k_2n=P_бо - вероятность безотказной работы (за время t_э)

Тогда k_{2i max}=1 и в соответствии с (2.4) следует полагать

k₂=1- k_2n=1- P_бо=Р_отк, (2.6)

где Р_отк - вероятность отказа (за время t_э).

Кроме того, удобно выбирать показатели качества такими, чтобы у идеальной системы значение этих показателей равнялось нулю. Всвязи с этим, необходимо иногда преобразовывать к, так называемому, стандартному виду (k_i>0; чем меньше k, тем лучше система; у идеальной системы k0) и монотонно убывающие показатели качества. Например, если неотрицательный показатель k_in удовлетворяет условиям (2.3), но чем он меньше, тем лучше система, то можно полагать

k_i=k_in-k_{i min} (2.7)

В дальнейшем будем полагать, что путём элементарных преобразований все исходные показатели качества приведены к безразмерному стандартному виду. При этом сравнения систем (вариантов их построения) удобно производить в m- мерном пространстве R_m показателей качества (рисунок 2.1)

Рисунок 2.1. m- мерное пространство R_m показателей качества

В этом пространстве каждой совокупности <k_1,…k₂> показателей качества соответствует m- мерный вектор К=<k_1,…k_m>, проведённый из начала координат. При этом, идеальной системе соответствует нулевое значение вектора А. Однако, у реальной системы вектор К отличен от нуля и его концом, как это видно из рисунка 2.1 является некоторая точка А в R_m.

Выясним, в каком соответствии находятся множество M_s систем и множество М_к соответствующих им векторов (точек) в R_m.

В общем случае возможны варианты, когда несколько систем, различающихся принципами построения и (или) значениями отдельных параметров, будут иметь практически одинаковые значения вектора К. Однако, если число m учитываемых показателей не слишком мало, такое совпадение значений вектора К будет весьма редким исключением. Поэтому, при сравнении реальных технических систем можно практически полагать, что между системой S и вектором качества К имеется взаимно-однозначное соответствие, т.е. множества М_s и M_k систем и их показателей качества в R_m эквивалентны.

Обозначим:

Д¹= (У, О_s, с.К) (2.8)

-часть исходных данных Д [см.(2.1)], не включающую критерии качества кр.К. Будем называть систему (класс система) S, удовлетворяющую исходным данным Д¹, допустимой системой.

В общем случае, существует не одна допустимая система, а некоторое множество М_дs таких систем. В пространстве R_m этим системам будет соответствовать множество М_дк допустимых значений вектора качества К. Так как между системами S и значениями векторов их качества К существует взаимно - однозначное соответствие, множества М_sд и М_sk эквивалентны, поэтому в дальнейшем оба эти множества будем одинаково обозначать М_д и полагать, что речь идёт о допустимом множестве.

Каждая точка в R_m, не принадлежащая М_д, является недопустимой, т.е. не удовлетворяет исходным данным (2.8).

k₁= P а d

q₄=0

b

q₃

q₂

q₁=P_c1/Р_ш1

1

q_1>q_2>q_3>q₄

1C k₂= P_л.т.

Рисунок 2.2.

Пусть, например, рассматривается вопрос о выборе обнаружителя сигнала по двум показателям качества: вероятности Рпр пропуска сигнала и вероятности Рл.т. ложной тревоги, т.е. К=<k1,k2>, где k1= Pпр ; k2=Рл.т. Тогда при фиксированных исходных данных Д1(при фиксированных характеристиках сигнала и полях и заданных ограничениях структуры и параметров обнаружителя множество М_д допустимых точек (в пространстве R_m) будет иметь вид области авсd между рабочей характеристикой (рисунок 2.2) и отрезками ad и dc (заштрихованная область). Если ослабить требования, входящие в исходные данные, например, увеличить энергию сигнала или уменьшить интенсивность помехи, то область М_д расшириться засчёт приближения соответствующей рабочей характеристики к осям абсциссе и ординат и наоборот. (Допустимая область - это область, которая может быть реализована при заданных исходных данных).