5.3. Численное решение одномерных задач оптимизации

Рассмотрим следующий пример. Химический завод производит некоторое вещество. Выход интересующего нас продукта определяется температурой: y = f(T). Температуру можно варьировать в определенных пределах: T₁ ≤ T ≤ T₂. Вид функции f заранее неизвестен, но зависит от используемого сырья. Получив очередную партию сырья, нужно найти температуру T, при которой наиболее выгодно вести производство, т. е. функция f(T) достигает своего наибольшего значения.

С математической точки зрения мы имеем типичную одномерную задачу оптимизации. В то же время между этой задачей и задачей о консервной банке имеется существенное различие. В данном случае нет никакой формулы для целевой функции f(T). Чтобы определить ее значение при некоторой температуре Т, нужно провести опыт в лаборатории (если это возможно), либо прямо в производственных условиях. Совершенно ясно, что возможно лишь конечное число измерений и тем самым функция f(T) будет известна нам в конечном числе точек. Значений ее производных мы вообще определить не можем. Остается добавить, что каждое измерение требует времени, а задерживать производство нельзя. Поэтому необходимо получить ответ на поставленный вопрос после небольшого числа измерений, т. е. по значениям функции y = f(T) в нескольких точках.

Итак, обсудим математические вопросы, связанные со следующей постановкой одномерной задачи оптимизации, определяя значение непрерывной функции f(х) в некотором конечном числе точек отрезка [a, b], нужно приближенно найти ее наименьшее (или наибольшее) значение на данном отрезке.

Рассмотрим разные подходы к решению этой задачи.

5.3.1 Метод равномерного распределения точек по отрезку

Идея этого метода наиболее проста и естественна. Возьмем некоторое число (целое) n, вычислим шаг h = (b – a) / n и определим значения функции f(х) в точках x_k = a + kn (k = 0, 1, …, n): y_k = f(x_k). После этого найдем среди полученных чисел наименьшее:

m_n = min (y₀, y₁, …, y_n) = min f(x), x [a, b]

Число m_n можно приближенно принять за наименьшее значение функции f(х) на отрезке [a, b]. Благодаря непрерывности функции имеем f(х)

,

т. е. с увеличением числа точек n ошибка, которую мы допускаем, принимая m_n за m стремится к нулю. В этом методе нас может ожидать неприятность, которую иллюстрирует рисунок 5.2.

Рисунок 5.2.

На нем приведен график некоторой непрерывной функции. Допустим, что, желая найти ее наименьшее значение, мы взяли m = 8. Определяя значения функции y_k = f(x_k) в точках x_k (k = 0, 1, …, 8) получим

m₈ = min (y₀, y₁, …, y₈) = y₆ = f(x₆)

В данном случае из-за недостаточного числа точек мы пропустим «узкий язык» между х₁ и х₂ , который опускается гораздо ниже y₆ = f(x₆). Поэтому при решении вопроса о числе точек важно максимально полно использовать всю дополнительную информацию о свойствах целевой функции, о степени ее гладкости, вытекающую из характера и особенностей задачи. Не последнюю роль играет и такой фактор, как опыт, интуиция исследователя.

5.3.2. Метод распределения точек по отрезку, учитывающий результаты вычисления целевой функции

Распределяя точки x_k равномерно, мы уделяем одинаковое внимание всем участкам отрезка: тем, где целевая функция велика и тем, в направлении которых она убывает, т. е. не используем информацию о функции f(x), которую мы получаем по мере вычисления чисел y_k = f(x_k).

Организацию вычислений по такой схеме можно сравнить с поведением в лесу неопытно грибника. В поисках грибов он ходит по всему лесу, не чувствуя разницы между грибными и негрибными местами. Опытный же грибник подолгу задерживается на грибных местах, а через негрибные места проходит быстро, не тратя на них лишнего времени.

Чтобы организовать поиск наименьшего значения функции по методу «опытного грибника», нужно отказаться от равномерного распределения точек, а выбирать очередную точку с учетом информации, которую мы получили о функции f(x) в результате ее вычисления в предыдущих точках. При этом основанное внимание следует уделять тем участкам отрезка [a, b], где вычисления дают малые значения функции, просматривая другие участки более бегло. Реализовать эту идею можно, например, следующим образом.

Вычислим значения функции f(x) в двух граничных точках x₀ = a и x₁ = b: y₀ = f(x₀), y₁ = f(x₁). После этого следующую точку x₂ выберем ближе к тому концу отрезка, на котором функция принимает меньшее значение. Ее положение определим соотношением между числами y₀ и y₁: чем больше разница, тем сильнее будет сдвиг точки х₂ в соответствующую сторону. Точку х₃ выберем с учетом взаимного расположения точек x₀, x₁, x₂ и соотношения между числами y₀, y₁, y₂ и т. д. Мы не будем останавливаться на описании возможных алгоритмов выбора очередной точки x_k по информации, полученной в результате вычисления целевой функции на предыдущих шагах – это специальный вопрос, исследования в данной области продолжаются, алгоритмы совершенствуются, и рано говорить об окончательном решении задачи.