5.2. Одномерные задачи оптимизации

Рассмотрим общие вопросы постановки и методов решения одномерных задач оптимизации. С математической точки зрения такую задачу можно сформулировать следующим образом.

Найти наименьшее (или наибольшее) значение целевой функции f(x), заданной на множестве Х. Определить значение переменной , при котором она принимает свое экстремальное значение.

В математическом анализе при изучении свойств функций, непрерывных на отрезке, доказывается следующая теорема.

ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА. Всякая функция f(x), непрерывная на отрезке [a, b], принимает на этом отрезке свое наибольшее и наименьшее значение, т. е. на отрезке [a, b] существуют такие точки x₁, x₂, что для любого выполняются неравенства

f(x₁) ≤ f(x) ≤ f(x₂) (5.10)

Не исключается, в частности, возможность того, что наименьшее или наибольшее значение достигается сразу в нескольких точках. В этом легко убедиться, рассмотрев в качестве примера функцию y = sin (x) на отрезке [0, 4π]. Она достигает своего минимального значения, равного -1, сразу в двух точках x = 3π/2, x = 7π/2. Наибольшее значение, равное 1, достигается также в двух точках: x = π/2, x = 5π/2.

Теорема Вейерштрасса играет в данном случае роль теоремы существования: согласно этой теореме задача оптимизации, в которой целевая функция f(x) задана и непрерывна на отрезке, всегда имеет решение.

Теперь нам предстоит обсудить методы решения задач оптимизации. При их исследовании мы будем предполагать, что целевая функция f(x) дифференцируема на отрезке [a, b] и имеется возможность найти явное выражение для ее производной f’(x).

Функция f(x) может достигать своего наименьшего или наибольшего значения либо в одной из двух граничных точек отрезка [a, b], либо в какой-нибудь его внутренней точке. В последнем случае такая точка обязательно должна быть экстремальной. Учитывая изложенное, можем сформулировать следующее правило решения задачи оптимизации для рассматриваемого класса функций.

Для того чтобы определить наибольшее и наименьшее значение дифференцируемой на отрезке [a, b] функции f(x), нужно найти все ее экстремальные точки на данном отрезке, присоединить к ним граничные точки a, b и во всех точках сравнить значения функции. Наименьшее и наибольшее из них дадут наименьшее и наибольшее значения функции для всего отрезка.

Поскольку граничные точки a, b искать не надо, то с технической точки зрения все сводится к определению экстремальных точек, которые являются корнями уравнения

f’(x) = 0. (5.11)

Для иллюстрации изложенного правила решения задачи оптимизации рассмотрим на отрезке [-2, 3] функцию

f(x) = 3x⁴ – 4x³ – 12x² + 2 (5.12)

Вычислим ее производную:

f’(x) = 12x³ – 12x² – 24x

Таким образом, уравнение (2.62) для определения экстремальных точек принимает вид

x³ – x² – 2x = 0 (5.13)

Все корни этого уравнения: x₁ = -1; x₂ = 0; x₃ = 2 принадлежат исходному отрезку. Добавляя к ним граничные точки: a = -2 и b = 3, вычислим соответствующие значения функции (2.63):

f(-2) = 34, f(-1) = -3, f(0) = 2, f(2) = -30, f(3) = 29.

Из сравнения этих чисел следует, что наименьшее значение функции f(x) достигается в одной из экстремальных точек х = 2, а наибольшее – в граничной точке х = -2, причем

f_min = f(2) = -30,

f_max = f(-2) = 34.

График функции иллюстрирующий проведенное исследование, изображён на рисунке 5.1.

Рисунок 5.1.