5. Задачи оптимизации

Проектирование сложных РЭС всегда должно быть направлено на поиск наилучшего варианта с точки зрения намеченной цели.

Многие задачи оптимизации сводятся к отысканию наименьшего (или наибольшего) значения некоторой функции, которую принято называть ЦЕЛЕВОЙ. Постановка задачи и методы исследования существенно зависят от свойств целевой функции и той информации о ней, которая может считаться доступной в процессе решения, а также, которая известна априори (до начала решения задачи).

Наиболее простым является случай, когда целевая функция задается явной формулой и является при этом дифференцируемой функцией. В этом случае для поиска экстремальных точек может быть использована производная. Однако, во многих случаях, целевая функция не задается формулой, ее значения могут быть получены в результате сложных расчетов, браться из эксперимента и о. д. Такие задачи являются более сложными, поэтому для них нельзя провести исследование целевой функции с помощью производной. Следует также отметить, что сложность задачи существенно зависит от размерности целевой функции, т. е. от числа ее аргументов.

Тем не менее, рассмотрим сначала случай одномерной оптимизации, во-первых, на нем легче понять постановку вопроса, методы решения и возникающие трудности. Во-вторых, алгоритмы решения многомерных задач оптимизации часто сводятся к последовательному, многократному решению одномерных задач.

5.1. Задача о наилучшей консервной банке

Пусть перед нами поставлена задача: указать наилучший вариант консервной банки фиксированного объема V, имеющий обычную форму прямого кругового цилиндра.

Рассмотрим два варианта целевой функции (критерия оптимизации):

1. наилучшая банка должна иметь наименьшую поверхность S (на ее изготовление уйдет наименьшее количество жести);

2. наилучшая банка должна иметь наименьшую длину швов ℓ (швы нужно сваривать и мы хотим минимизировать трудоемкость этой операции).

Для решения этой задачи запишем формулы для объема банки, ее поверхности и длины швов:

V = πr²h, S = πr²+ 2πrh, ℓ=4πr + h (5.1)

Объем банки задан, это устанавливает связь между радиусом r и высотой h. Выразим высоту через радиус: h = V/(πr²) и подставим полученное выражение в формулы для поверхности и длины швов. В результате получим:

S (r) = 2πr² + 2V/r, 0 < r < ∞ (5.2)

ℓ (r) = 4πr + V/πr², 0 < r < ∞ (5.3)

Таким образом, с математической точки зрения, задача о наилучшей консервной банке сводится к определению такого значения r, при котором достигает своего наименьшего значения в одном случае функция S (r), в другом – функция ℓ (r).

Рассмотрим первый вариант задачи. Вычислим производную функции S’ (r):

S’ (r) =4πr - 2V/r² = 2/r² (2πr³ – V) (5.4)

Своего наименьшего значения эта функция достигает в точке r = r₁, в которой ее производная обращается в нуль. Как не трудно убедиться:

; (5.5)

При этом

(5.6)

Рассмотрим теперь задачу во второй постановке. Продифференцируем функцию ℓ (r).

ℓ’ (r) = 4π – 2V/πr³ = 2/ πr²(2 π²r² – V) (5.7)

Приравняв производную нулю, получим, что радиус и высота банки, наилучшие с точки зрения критерия минимальности ℓ(r), определяются формулами

, h₂ = 2πr₂, (5.8)

при этом

. (5.9)

Мы видим, что при разных критериях оптимизации получаются существенно разные ответы.