2.4.3. Комбинированный метод отыскания Мнх

Он отличается от метода рабочих характеристик тем, что в разряд ограничений типа равенств переводится не (m-1) показателей качества, а меньше, т.е. вектор качества представляется в виде K= <k₁,…,k_m'; k_m'+1,..,k_m>, где черта снизу, как и ранее означает, что подчёркнутые его показатели качества рассматриваются как некоторые фиксированные величины. Для оставшихся нефиксированными m' показателей качества ищется множество М'_нх. Это множество можно найти любым методом, например весовым и тем самым получить диаграмму обмена между m' показателями качества вида

k₁= f'_нх(k₂,.., k_m'; k_m'+1,…,k_m) (2.36)

Эта диаграмма обмена зависит от значений k_m'+1,…, k_m фиксированных показателей. Диаграмма обмена ищется для всех допустимых [неравенствами (2.10)] значений показателя качества k₁,…,k_m'. Затем проверяется зависимость (2.36) от значений каждого из фиксированных параметров k_m'+1,…,k_m. Доказано, что если эта зависимость окажется монотонно убывающей по всем этим параметрам (во всём диапазоне их допустимых значений), то в выражении (2.36) черта снизу под показателями k_m'+1,..,k_m может быть ликвидирована и функция (2.36) совпадает с искомой диаграммой обмена между m (а не только m') показателями качества.

Например, если при m'=2, m=3 было найдено, что функция (2.36) имеет вид

k₁= m 1/k₂ /k₃, (2.37)

то поскольку зависимость k₁ от k₃- монотонно убывающая, уравнение искомой диаграммы обмена между показателями k₁, k₂, k₃ можно записать в виде

k₁= m 1/k₂/k₃ (2.38)

Если в выражении (2.36) зависимость k₁ хотя бы от одного из показателей k_m'+1,…,k_m окажется не монотонно убывающей, то зависимость k₁=f_нх(k₁,..,k_m';k_m'+1,…,k_m), получается из (2.36) отбрасыванием черты снизу содержит не только все нехудшие точки, но и некоторые худшие.

Изложенный метод называется комбинированным, т.к. в общем случае не совпадает ни с методом рабочих характеристик (при m'>1), ни с весовым методом (при m'<m). Очевидно, его имеет смысл применять при m3, т.к. при m=2 получается m'=1 и он сводится к методу рабочих характеристик.

Применение метода целесообразно, когда множество М'_нх уже найдено для m' показателей качества и ряд дополнительных показателей качества при отыскании М'_нх при этом был фиксирован (заморожен). Тогда для «автоматического» распространения уже известной для m' показателей диаграммы обмена (2.36) на все m показателей достаточно лишь убедиться в том, что зависимость k₁ от дополнительных показателей k_m'+1,…,k_m является монотонно убывающей.

2.5. Применение условного критерия предпочтения

Как уже отмечалось ранее, условный критерий предпочтения основан на введении некоторого результирующего скалярного показателя качества К_рез, являющегося известной (выбранной) функцией (2.17) первичных показателей k₁,…k_m, называемой результирующей целевой функцией (РЦФ). Поскольку возможно неограниченное множество видов (РЦФ). Поскольку возможно неограниченное множество видов РЦФ, число возможных видов УКП, в отличие от БКП, неограниченно.

Как уже отмечалось, РЦФ может выбираться либо в виде функции потерь (чем меньше К_рез , тем лучше система), либо в виде функции полезности (чем больше К_рез , тем лучше система). В дальнейшем, для определённости полагаем, что К_рез выбрана в классе функций потерь.

Наконец, РЦФ может быть корректной и не вполне корректной. В первом случае зависимость К_рез от каждого из показателей k₁,…,k_m является монотонно возрастающей, а во втором - лишь неубывающей. Доказано, что, когда выбранная РЦФ вполне корректна, найденная на её основе система обязательно относится к множеству нехудших. Если же РЦФ не вполне корректна, то в отношении результата оптимизации, полученного при её применении, можно утверждать следующее: если значение К_рез минимально лишь при единственном значении вектора К=<k₁, k₂,…,k_m>, то этому минимуму соответствует нехудшее значение вектора К, т.е. найденная оптимальная система относится к классу нехудших; если же минимуму К_рез соответствует не одно, а две или более значений вектора К, то, по меньшей мере, одно из них будет нехудшим, а остальные могут быть и худшими.

Для иллюстрации этого положения, рассмотрим следующий пример: Пусть РЦФ выбрана в виде

К_рез= f_рез(k₁,…,k_m)=k₁ при k₂≤ k_2max , …, k_m≤ k_{m max} } (2.39)

или, что эквивалентно, К_рез= k₁ при условии

k₂≤ k_{2 max} ,…, k_m≤ k_{m max} (2.40)

Из последних соотношений следует, что в интересующей нас области показателей качества зависимость К_рез от аргументов k₁ ,…,k_m имеет вид, изображённый на рисунке 2.14.

К_рез К_рез

k_i

k_{1 max} k_{i max}

Рисунок 2.14.

Зависимость от показателя k₁ является возрастающей, а от остальных показателей - лишь неубывающей. Поэтому РЦФ вида (2.39) является не вполне корректной.

Пусть, например, m=2 и множество М_сд строго допустимых показателей качества имеет вид, изображённый на рисунке 2.15 (область abc).

К₁ а с

k_{1 max}

М_сд

b

К₂

k_{2 max}

Рисунок 2.15.

Тогда применение РЦФ вида (2.39) или (2.40) означает, что ищется минимум величины k₁ при условии, что k₂≤ k_{2 max}. Поэтому, как следует из рисунка 2.15, в результате применения такой РЦФ будет выбрана точка b, т.е. одна из нехудших точек.

Пусть теперь множество М_сд имеет вид области abcd, изображённой на рисунке 2.16.

К₁

K_{1 max} d

a М_сд

b с

k_{2 max} К₂

Рисунок 2.16.

В этом случае применение такой же РЦФ приведёт к тому, что выбранному критерию будут удовлетворять все точки отрезка bc, из которых только точка b нехудшая, а все остальные точки - худшие.

Очевидно, когда решение задачи оптимизации оказывается не единственным, из найденного множества значений вектора К следует отсеять все худшие значения. Этот недостаток, не вполне корректной РЦФ по сравнению с вполне корректной частью, окупается большей возможностью её обоснования. Пусть, например, помехоустойчивость локатора обнаружения цели оценивается двумя показателями качества - вероятностью пропуска цели Р_пр и вероятностью ложной тревоги, т.е.

k₁= Р_пр ; k₂= Р_л.т. (2.41)

Тогда можно ввести результирующий показатель качества в виде

К_рез= С₁Р_пр+ С₂Р_л.т. , (2.42)

где С₁>0, С₂>0, С₁+С₂=1.

Результирующая целевая функция (2.42) возрастает по каждому из её аргументов (Р_пр и Р_л.т.) и, следовательно, вполне корректна. Однако, для её применения необходимо обосновать значения весов С₁ и С_2, что, в большинстве случаев, осуществить не удаётся. Если вместо этого выбрать РЦФ вида (2.40), т.е. положить К_рез = Р_пр при Р_л.т.≤ Р_л.т.max , то критерий оптимальности принимает вид критерия Неймана Пирсона:

обеспечить _minР_пр при Р_л.т.= Р_{л.т. max} (2.43)

s

При этом достаточно обосновать лишь максимально допустимое значение вероятности ложной тревоги. Такое обоснование, хотя бы приближённое, в большинстве практических задач возможно.

Ранее было рассмотрено деление возможных РЦФ на функции потерь и функции полезности, а так же на вполне и не вполне корректные. Кроме того, возможные РЦФ можно подразделить на объективные и субъективные. РЦФ называется объективной, если её вид может быть достаточно объективно обоснован исходя из назначения системы. В противном случае, РЦФ называется субъективной.

Рассмотрим в качестве примера случай, в котором можно достаточно объективно обосновать РЦФ.

Пример. Пусть синтезируется система наведения зенитного снаряда по двум основным показателям качества:

k₁= C_н , k₂= h_эф, (2.44)

где С_н - стоимость системы наведения, а h_эф - эффективное (среднеквадратическое) значение ошибки наведения (промаха). При этом управляемый снаряд в целом характеризуется также двумя основными показателями

k_1сп= С_с, k_2сп= 1-Р_п= Р_нп, (2.45)

где С_с - стоимость снаряда в целом, а Р_п - обеспечиваемая им вероятность поражения цели.

Если считать, что стоимость С_с фиксирована, то

С_с= С_со, (2.46)

то снаряд в целом характеризуется единственным показателем качества

К_сп= k_2сп= Р_нп (2.47)

Приближённо можно полагать, что

Р_п= 1/1+h²_эф/R²_эф , (2.48)

где R_эф - эффективный радиус поражающего действия снаряда. Также в первом приближении можно полагать

R²_эф= АС_о, (2.49)

где С_о= С_со - С_н - стоимость остальной (т.е. за исключением системы наведения) части снаряда , А- пост. коэффициент [м²/руб.]

Тогда с учётом (2.45), (2.48) и (2.49) получается, что

Р_нп= [1+А (С_со - С_н)/h²_эф]^-1 , (2.50)

где С_н< C_co

C учётом (2.47) выражение (2.50) можно записать также в следующем виде:

К_рез= К_сн= [1+A(C_co-k₁)/k²₂]^-1, k₁< C_co (2.51)

и считать оптимальной такую систему наведения снаряда (такую комбинацию показателей k₁ и k₂ её качества) при которой значение К_рез минимально.

Однако, к сожалению, возможность объективного обоснования РЦФ имеет место далеко не всегда и, следовательно, выбранная РЦФ является, в значительной степени, субъективной.