2.4.2. Весовой метод отыскания Мнх

Рассмотрим теперь весовой метод отыскания М_нх. При применении этого метода минимизируется взвешенная сумма

k'_в= λ₁k₁+…+λ_i k_i + …+λ_m k_m (2.24)

показателей качества, в которых веса λ₁,…,λ_m выбираются произвольно в пределах

λ_i > 0 , ∑^m_i=1λ=1, (2.25)

т.е. решается задача:

обеспечить min k_b (2.26)

S М_сд

При некоторой фиксированной комбинации (λ₁,…λ_m) весовых коэффициентов.

Не трудно убедиться, что тот же результат получится, если вместо суммы вида (2.24) минимизировать взвешенную сумму вида

k_b= k₁+a₁k₂+…+a_i-1k_i+…+a_m-1k_m, (2.27)

где 0<a_i<∞ (2.28)

т.е. решать задачу:

обеспечить min k_b

S Мсд (2.29)

Действительно из (2.24) и (2.27) следует, что k'_b= λ₁k_b, если a_i-1=λ_i /λ₁. Так как в процессе минимизации k_b (или k'_b) значения весовых коэффициентов не меняются, то из минимума k_b следует минимум k'_b и наоборот. Однако, запись вида (2.27) удобней, т.к. при этом число весовых коэффициентов на единицу меньше.

Итак, при весовом методе, решается задача (2.29) при некоторой фиксированной комбинации (a₁,…,a_m-1) весовых коэффициентов. В результате решения этой задачи, находится соответствующая система S_b и соответствующие ей значения k_1b,…,k_mb показателей, обеспечивающие получение минимального значения взвешенной суммы (2.27), т.е.

k_{b min}=k_1b+a₁k_2b+…a_m-1k_mb (2.30)

Очевидно, что как вид S_b системы S, так и соответствующие значения её показателей k_1b,…,k_mb, зависят от конкретного значения выбранной комбинации a₁,…,a_m-1 весов. Поэтому, варьируя эти комбинации весов во всех допустимых неравенствами (2.28) пределах, можно найти зависимости вида

S_b=S_b(a₁,…,a_m-1), (2.31)

k_1b=f_1b(a₁,.,a_m-1),…,k_mb=f_mb (a₁,…,a_m-1) (2.32)

Решая систему уравнений (2.32) относительно весовых коэффициентов a₁,..,a_m-1, можно получить уравнение, связывающее показатели k_1b,..,k_mb. Запишем его в виде

K_1b=f_b(k_2b,…,k_mb) (2.32)

и назовём зависимость (2.32) весовой поверхностью. Каждой точке этой поверхности соответствует некоторая система. Множество точек этой системы обозначим М_b.

Доказано, что множество М_b обладает следующими свойствами:

1. Каждая точка из М_b- нехудшая, но часть нехудших точек может не войти в состав М_b., т.е. М_bМ_нх

2. Если множество М_сд выпуклое, то М_b совпадает с М_нх.

3. Если решение задачи (2.26) существует для всех допустимых комбинаций показателей k₁,…k_m , то М_b совпадает с М_нх.

4. Если решение задачи (2.29) для некоторых допустимых комбинаций

(k₁,…k_m) показателей качества не существует, то этим комбинациям показателей k_m могут соответствовать как нехудшие, так и худшие точки и для таких комбинаций ответ (худшей или нехудшей точке они соответствуют) можно получить лишь каким- либо другим методом, например методом рабочих характеристик. Поясним эти положения на следующих простых примерах.

Пример 1.Множество М_сд имеет вид, приведённый на рисунке 2.12. В этом случае, как уже ранее было установлено, множество

k₁

k_1max a' d' М_сд

k_b 1

k_{b min} 1'

c'

k_1b b

А _



k_2b k_2max k₂

Рисунок 2.12.

М_нх состоит из всех точек кривой a'bc'. Выясним, какие результаты даст весовой метод. Взвешенная сумма (2.27) показателей качества в данном случае имеет вид

k_b= k₁+ ak₂, (2.33)

где 0< a< ∞

На рисунке 2.12 эта зависимость изображается прямой 1:

k₁= k_b- ak₂, (2.34)

образующей с осью абсцисс угол , где

tg= a (2.35)

На оси ординат прямая (2.34) отсекает отрезок, равный k_b. Очевидно, значение k_b имеет минимум, когда прямая (2.34) совпадает с касательной к a'bc',т.е. принимает положение 1', изображённое на рисунке 2.12. Найденная, таким образом, точка касания А принадлежит как множеству М_b, так и множеству М_нх. Следовательно, при данном значении весового коэффициента a, найдена одна из точек искомого множества М_нх. Если несколько увеличить а, т.е. угол наклона прямой 1, то точка её касания к кривой a'bc' будет расположена выше точки А_, а при уменьшении a она будет перемещаться по границе a'bc' от точки А к точке с'. Поэтому, придавая весовому коэффициенту а всевозможные значения (в пределах о<a<∞), можно найти все точки кривой a'bc', т.е. всё множество М_нх, т.е. весовая поверхность совпадает с кривой a'bc', т.е. с диаграммой обмена. Рассматриваемое множество М_сд выпуклое поэтому, варьируя вес а, удаётся найти все точки диаграммы обмена и, следовательно, множество М_b совпадает с множеством М_нх.

Пример 2. Множество М_сд имеет вид, изображённый на рисунке 2.13 с границей gbcdef, т.е. не является выпуклым.

При этом диаграммой обмена является левая нижняя граница qbcde, содержащая множество М_нх нехудших точек, т.е. остальные точки М_сд - худшие.

Применяя весовой метод аналогично тому, как это было сделано в примере 1, получаем следующие результаты:

• при значении весового коэффициента а= а_кр, т.е. =_кр, прямая (2.34) касается левой нижней границы области М_сд в двух точках, b и d, т.е. решение задачи (2.29), при таком а, позволяет найти нехудшие точки b и d;

при а_кр< а < ∞ будут найдены все точки участка qb диаграммы обмена, а при о < a < a_кр- все точки участка de диаграммы обмена. Но ни одна из внутренних точек участка bcd диаграммы обмена при этом найдена не будет.

Поэтому весовая поверхность в данном случае имеет вид, изображённый на рисунке 2.13 сплошной линией. На участках qb и de она совпадает с соответствующими участками диаграммы обмена, а на участке bd эта поверхность (в данном случае кривая) не существует (не определена). Следовательно, в данном случае весовой метод позволил найти не всё множество М_нх, а лишь её часть. Поэтому на том участке, где весовая характеристика оказалась несуществующей, могут иметься как худшие, так и нехудшие точки и, следовательно, рассматривая такую неполностью определённую весовую поверхность, нельзя установить, какие именно точки оказались пропущенными - нехудшие или худшие. Ответ на этот вопрос может дать лишь применение какого-либо другого метода отыскания нехудших систем, например, метод рабочих характеристик.

Сравнение основных свойств, изложенных двух методов отыскания нехудших систем, позволяет сделать следующие основные заключения.

1. Метод рабочих характеристик позволяет найти всё множество М_нх, но часть найденных этим методом точек могут быть и худшими: МрМнх.

2. Любая точка (система), найденная весовым методом, всегда нехудшая, но часть нехудших точек может быть при этом пропущена: М_вМ_нх.