2.3. Нехудшие и худшие системы. Диаграммы обмена.

На основе БКП вводятся понятия нехудшая и худшая системы. Система S, имеющая вектор качества К и принадлежащая множеству М_сд, считается нехудшей, если в этом множестве не существует ни одной безусловной лучшей системы, т.е. не существует системы S, обладающей вектором качества К¹, таким, что К^'≤ К; в противном случае система считается худшей. Последовательное применение БКП по всем точкам множества М_сд разбивает это множество на два непересекающихся множества М_нх – нехудших систем и М_х - худших систем.

Пусть, например, множество М_сд строго допустимых систем имеет вид, изображённый на рисунке 2.8 в виде сектора,

К₁

К_1max а' d¹

А

А₁'

b

В¹ С¹

К_2max К₂

Рисунок 2.8.

ограниченного линиями a^'bc'd включающего эти границы. Рассмотрим точку А внутри этой области. Очевидно, точки А₁ и В₁ являются по сравнению с точкой А безусловно лучшими, т.к. каждой из них соответствует меньшее (лучшее) значение одного из показателей качества при таком же значении второго показателя. Следовательно, точка А является худшей.

Не трудно убедиться, что для любой точки, принадлежащей М_сд, но не лежащей на границе a^'bc', на этой границе будут существовать две безусловно лучшие точки. Любая же из точек границы a'bc' является нехудшей, так как ни для одной из них не существует ни одной безусловно лучшей точки.

В пространстве R_m геометрическим местом всех нехудших точек является некоторая многомерная поверхность, связывающая между собой нехудшие значения показателей качества k₁…k_m. Она называется, иногда, оптимальной поверхностью и может быть описана любым из следующих m соотношений:

K₁= f'_нx (k₂, k₃,…k_m), k₂= f"_нx(k₁, k₃,…,k_m),.., k_m= f^(m)_нx(k₁,k_2,…k_m) (2.19)

Поскольку все m соотношений (2.19) для рассматриваемой многомерной оптимальной поверхности эквивалентны, в дальнейшем будем использовать запись:

k₁= f_нх(k₂,…,k_m) (2.20)

И называть её m-мерной диаграммой обмена между показателями качества системы.

В пространстве R_m, очевидно, эта диаграмма должна быть монотонной (т.е. каждый из показателей k_i монотонно убывает) при возрастании любого другого из (m-1) показателей качества (если остальные при этом остаются фиксированными). Интерес для разработчиков системы представляют лишь нехудшие системы. Поэтому если множество М_нx удаётся найти, то остальные (худшие) варианты можно исключить из дальнейшего рассмотрения при проектировании. В ряде случаев это сужение может быть весьма существенным (например, в случае, изображённом на рисунке 2.7а вся область a'bc'd' сокращается до её левой границы a'bc').

В том случае, когда множество М_нx оказывается вырожденным, т.е. содержит в R_m всего одну точку, эта точка оказывается не только нехудшей, но и безусловно лучшей, по сравнению с любыми другими, возможными в рамках М_сд точками. Найденную, в этом случае, систему будем называть совместно-оптимальной, так как ей соответствуют одновременно (совместно) наилучшие значения всех m показателей качества. Будем также говорить, что когда исходные данные приводят к вырожденному М_нx , существует совместно- оптимальное решение задачи векторной оптимизации.

Пример вырождённого множества М_нx приведён на рисунке 2.9. Оно содержит единственную точку – точка А. При этом и диаграмма обмена между показателями качества k₁,…k_m состоит всего из одной точки. Это означает, что обмен между показателями качества отсутствует - показатель k₁(например k₂), соответствующий этой точке, невозможно уменьшить, увеличивая (ухудшая) какой- либо другой из показателей.

К₁

в c Д

k_1max

М_сд E

k_1A А F

k_2A k_2max K₂

Рисунок 2.9.

Иначе говоря, в тех случаях, когда исходным данным Д" соответствует вырождённое множество Мнx , минимальное значение любого показателя качества k1,…km невозможно улучшить ослаблением требований к каким либо другим из этих m показателей (вплоть до их полного игнорирования). И наоборот, если множество М_нx невырождено, то предел уменьшению каждого из показателей k₁,…k_m ставит увеличение (ухудшение) других показателей. Поэтому в случае вырождённого М_нx показатели качества k₁,…k_m будем называть согласованными (совместно улучшаемым), а в случае невырождённого М_нx- несогласованными или антагонистическими. Так, на рисунке 2.9 минимальное (в пределах М_сд) значение показателя k₁ равно k_1-л независимо от того, каково допустимое значение показателя k₂, а минимальное значение показателя k₂ равно k_2А независимо от допустимого значения показателя k₁. В случае, изображённом на рисунке 2.7а минимальное значение k₁ тем меньше, чем больше (хуже) значение показателя R₂ и наоборот.

Случай согласованных показателей качества (т.е. вырождённого М_нx) является редким и обычно может иметь место лишь в задачах с однородными показателями k_1,…k_m (т.е. различными показателями, характеризующими одно и то же свойство системы, например, точность её действия. В большинстве же практических задач множество М_нx оказывается невырожденным. При этом ни одной из нехудших систем нельзя отдать предпочтение, находясь в рамках БКП, и необходимо использовать какой- либо условный критерий предпочтения (УКП). Однако, для сужения класса рассматриваемых систем, всё равно оказывается полезным нахождение множества М_нx.