23. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

Пусть функция   определена на   и дифференцируема в каждой точке этого интервала. Тогда на интервале   определена функция  . Пусть функция  дифференцируема в некоторой точке  , то есть  . Тогда эта производная называется производной второго порядка функции   в точке  .

 ; 

Теорема (формула Лейбница).  Пусть   и   в точке  . Тогда в этой точке

Пусть функция   задана и дифференцируема на некотором интервале  , тогда   для  , причем  . Заметим, что функция   - это функция двух переменных   и  . Рассмотрим функцию   как функцию переменной   (фиксируем  ). Пусть   имеет производную в некоторой точке  . Тогда функция  имеет дифференциал в точке  .

Определение. Дифференциалом второго порядка в точке   называется дифференциал от дифференциала первого порядка в этой точке и обозначается: 

Аналогично определим дифференциа любого порядка. Пусть функция   дифференцируема   раз на интервале   и   для некоторой точки  .

Определение. Дифференциалом порядка   функции   в точке   называется дифференциал от дифференциала   порядка в этой точке и обозначается: 

24. Экстремум функции одного переменного, необходимое условие экстремума (теорема Ферма), Теорема Ролля.

Теорема Ролля.. Пусть: Функция   непрерывна на отрезке  :  ; Для любого x из интервала   существует производная:  ;Значения функции на концах отрезка равны:  . Тогда существует такое  , что производная  .

Доказательство Функция непрерывна   существуют  .Если  , то функция   является константой, и ее производная в любой точке равна 0, т.е. теорема доказана.Если же  , то оба значения   не могут достигаться в концевых точках, т.к.   и  . Тогда хотя бы одно из них достигается во внутренней точке c, и, по теореме Ферма    

Пусть функция f (х) определена на отрезке [a;bJ и во внутренней точке Хо этого отрезка принимает оптимальное (максимальное или минимальное значение) значение. Пусть в точке Хо существует производная f'(хо). Тогда f'(хо) = о. Доказательство. Предположим противное - пусть Хо - точка экстремума функции f (х), и пусть f'(Хо) Ф о. Рассмотрим для определённости случай, когда Хо - точка минимума; предположим, что f'(Хо) > о, тогда слева от точки Хо по теореме о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции должно выполняться неравенство f (х) < f (хо), что противоречит предположению о том, что Хо - точка минимума. Если мы предположим, что

f'(Xq) < 0, то справа от точки Xq должно быть верным неравенство f (х) < f (xо), чего также не может быть. Таким образом f'(Xq) = 0, что и требовалось доказать. 

25. Теоремы Лагранжа и Каши. Формула конечных приращений Лагранжа.

конечных приращений формула

формула Лагранжа, одна из основных формул дифференциального исчисления, дающая связь между приращением функции f(x) и значениями её производной, эта формула имеет вид:

 f(b)-f(a)=(b-a)f’(c), 

где с — некоторое число, удовлетворяющее неравенствам a<с<b.< em=""> Формула (1) справедлива, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и имеет производную в каждой точке интервала (а, b).</b.<>

Теорема Лагранжа Если функция y=f(x):

1). Определена и непрерывная на всем сегменте [a; b];

2). Производная f ′ (x) ограничена на этом сегменте;

Тогда на интервале (a; b) есть хотя бы одно число c которое удовлетворяет следующему равенству:

f(b) -f(a)=(b-a) ⋅ f ′ (c) c ∈ (a; b).

Теорема Коши Если функции f(x) и g(x):

1). Определены и непрерывны на всем сегменте [a; b];

2). Производные g′ (x), f ′ (x) ограничены на этом сегменте;

3). (g′ (x))²+ (f ′ (x))² ≠ 0, для всех x∈ (a; b);

4). g(a) ≠ g(b);

Тогда на интервале (a; b) существует хотя бы одно число c которое удовлетворяет следующему равенству:

, c ∈ (a; b).