3. Сочетания, размещения и перестановки из элементов множеств.

• В комбинаторике размещением называется расположение «предметов» (объектов) на некоторых «местах» при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны. Более формально, размеще́нием (из n по k) называется упорядоченный набор из k различных элементов из некоторого множества различных же n элементов.

Пример 1:   — это 4-х элементное размещение из 6-ти элементного множества  .

Пример 2: некоторые размещения элементов множества   по 2:         ...       ...  ...

В отличие от сочетаний, размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы   и   являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов   (то есть совпадают как сочетания).

• перестано́вка — это упорядоченный набор чисел   обычно трактуемый как биекция на множестве  , которая числу i ставит соответствие i-й элемент из набора. Число n при этом называется порядком перестановки. Как синоним слову "перестановка" в этом смысле некоторые авторы используют слово расстановка.

Свойства перестановок:

• Число всех перестановок порядка   равно числу размещений из n по n, то есть факториалу

• Композиция определяет операцию произведения на перестановках одного порядка:   Относительно этой операции множество перестановок порядка nобразует группу, которую называют симметрической и обычно обозначают  .

• Любая группа является подгруппой группы перестановок множества элементов этой группы (теорема Кэли). При этом каждый элемент   сопоставляется с перестановкой  , задаваемой тождеством   где g — произвольный элемент группы G, а   — групповая операция.

• сочетанием из   по   называется набор   элементов, выбранных из данного множества, содержащего   различных элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.

Так, например, наборы (3-хэлементные сочетания, подмножества,  ) {2, 1, 3} и {3, 2, 1} 6-тиэлементного множества {1, 2, 3, 4, 5, 6} ( ) являются одинаковыми (в то время как размещения были бы разными) и состоят из одних и тех же элементов {1,2,3}.

4. Четные и нечетные перестановки.

Пусть имеется перестановка чисел 1, 2, . . . 𝑛. Мы говорим, что два числа, входящих в данную перстановку, образуют инверсию, если большее число из нашей пары предшествует меньшему. Число пар, образующих инверсию, называется числом инверсий перестановки. Минимальное число инверсий = 0 (1, 2, . . . , 𝑛)

Максимальное число инверсий = 𝐶𝑛 2 = 𝑛(𝑛−1) (𝑛, 𝑛 − 1, . . . , 3, 2, 1)

Определение. Перестановка называется четной, если

она содержит четное чилос инверсий, и называется нечетной

в противном случае.

5. Определители 2-го и 3-го порядков, вычисление, свойства.

Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице A (или просто определителем матрицы A) называется число

detA=a11a22−a12a21.

Аналогично если квадратная матрица 3-го порядка, то соответсвующим ей определителем 3-го порядка называется число

detA=

a11a22a33+a21a32a13+a12a23a33−a13a22a31−a12a21a33−a21a32a11.

Эту формулу называют "правило треугольника": одно из трех слагаемых, входящих в правую часть со знаком "+", есть произведение элементов главной диагонали матрицы, каждое из двух других - произведение элементов лежащих на параллели к этой диагонали и элемента из противоположного угла матрицы, а слагаемые, входящие в со знаком минус, строятся таким же образом, но относительно второй (побочной) диагонали.