ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ОТВЕТЫ

по дисциплине «Алгебра и геометрия»

для студентов I курса (специальность 090300, ебануться можно)

1. Множества, основные понятия, определения. Операции над множествами.

Множество- совокупность предметов, объектов, объединенных в целое по некоторым признакам. Множество составляют элементы. Множество без элементов-пустое (Ø).

Множества могут быть конечными и бесконечными. (Мн. всех чисел – бесконечное, всех цифр – конечное). Заданным называется множество, если о каждом его элементе можно сказать, принадлежит он множеству, или не принадлежит. Равные множества состоят из одних и тех же элементов.

Способы задания множеств:

1. Перечисление всех элементов списком (если их не много). Пример: множество цифр : А={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}.

2. Задание свойства, которым обладают элементы множества, и которым не обладают любые другие элементы. Пример: множество городов Роиссии. Города не Роиссии этим свойством не обладают (ну как свойством, скорее недостатком).

• Если все элементы А – Элементы В, А- подмножество В (А с В);

• Если А-подмножество В, и ВсС, то АсС.

• Каждое множество можно изобразить графически (Диаграммы Венна).

Операции над множествами (везде предполагается множество С):

• Пересечение (произведение) – множество состоит как из элементов А, так и В;

• Объединение – множество состоит из все элементов или (и) А, или (и) В;

• Разность – множество состоит только из элементов А;

• Симметрическая разность – множество состоит из всех элементов либо А, либо В;

• Дополнение – множество состоит из любых элементов, не принадлежащих А.

2. Отображения множеств.

п.1. Отображение множеств.

Определение. Пусть А и В – произвольные множества. Отображением множества А в множество В называют правило (соответствие), которое каждому элементу множества А ставит в соответствие единственный для этого элемента элемент множества В.

Обозначение.  . Здесь,  – имя (наименование) отображения. Если  – элемент множества А, то элемент множества В, который ставится ему в соответствие при этом отображении обозначают   и пишут  . Элемент   называют значением отображения  "в точке а" или образом элемента а. При этом сам элемент а называют прообразом элемента  .

Замечание. Слова отображение и функция являются синонимами, при этом множество А называют областью определения функции (отображения)   и обозначают  , а множество значений  обозначают   и называют образом отображения  .   является подмножеством множества В:  .

п.2. Задание отображений.

Для того, чтобы определить (задать) отображение множества А в множество В нужно задать сами множества А и В, а затем задать правило с помощью которого мы сможем для каждого   находить соответствующий ему элемент  . Это правило можно задать простой таблицей, если множество А конечное и имеет небольшое число элементов. Это правило можно задать с помощью формулы (математического выражения). Это правило можно задать с помощью некоторого алгоритма (процедуры). Все зависит от конкретной ситуации.

п.3. Декартово (прямое) произведение множеств.

Определение. Пусть   – элементы каких-то множеств (не обязательно одного множества). Две пары элементов   и   будем называть равными и писать  , если   и  .

Такие пары называют упорядоченными парами, т.е. пару элементов  называют упорядоченной парой, если   при  .

Определение. Декартовым (прямым) произведением множества А на множество В называют множество всех упорядоченных пар  , где первый элемент пары является элементом множества А, а второй – множества В и обозначается  .

Иначе,  . Здесь знак   означает равенство по определению.

Пример. Пусть   – множество первых восьми букв латинского алфавита.   – множество первых восьми натуральных чисел. Тогда декартово произведение множества А на множество В есть множество  . Для удобства записи все элементы этого множества можно записывать проще:   и мы получаем обозначение всех 64 клеток шахматной доски.

п.4. Декартов квадрат множества.

Определение. Декартовым квадратом множества А называют декартово произведение множества А на множество А (т.е. само на себя).

Обозначение:  .

Пример. Пусть  – множество действительных чисел. Тогда  – множество всех упорядоченных пар действительных чисел. Это множество можно интерпретировать как множество точек на координатной плоскости с соответствующими координатами.